Exercice 2 — Nombres qui ne s'écrivent qu'avec des 1

Sujet

On appelle « repet1» tout nombre entier naturel qui ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 . \(n\) étant un entier naturel non nul, le nombre entier qui s'écrit avec \(n\) chiffres 1 est noté \(u_{n}\). Par exemple, le nombre \(u_{5}\) vaut 11111 .

Partie A

1. Quels sont tous les diviseurs de \(u_{2}\) ? de \(u_{3}\) ? de \(u_{4}\) ?
2. Trouver six diviseurs de \(u_{9}\) autres que 1 et \(u_{9}\).
3. Trouver deux diviseurs de \(u_{16}\) autres que 1 et \(u_{16}\).
4. Si \(n\) est un entier pair supérieur à 3 , \(u_{n}\) a-t-il toujours d'autres diviseurs que 1 et \(u_{n}\) ?

Partie B

On considère un entier naturel non nul \(n\).

1. Montrer que si on multiplie \(u_{n}\) par ( \(1+10^{n}\) ) on obtient \(u_{2 n}\).
2. Qu'obtient-on si on multiplie \(u_{n}\) par \(\left(1+10^{n}+10^{2 n}+\cdots+10^{p n}\right)\), où \(p\) est un entier naturel non nul?

Partie C

1. Si \(d\) est un entier naturel pair ou multiple de 5 , existe-t-il des entiers naturels \(b\) tels que \(d \times b\) soit un «repet1»?
2. On cherche le plus petit nombre \(b\) qui multiplié par 7 donne un « repet1 ».

Quel est nécessairement le chiffre des unités \(b_{1}\) de \(b\) ? Même question pour le chiffre des dizaines \(b_{2}\) de \(b\) puis le chiffre des centaines \(b_{3}\) de \(b\). Justifier chacune de ces réponses. Terminer la recherche et donner le nombre \(b\).
3. a) On considère l'algorithme ci-contre.

Faire fonctionner cet algorithme pour obtenir les deux premiers affichages de chiffre.
Quel lien peut-on faire avec la question 2) ?
Quel sera l'affichage obtenu à la fin de l'algorithme?
b) On admettra que pour tout entier naturel \(d\) non nul, impair et non multiple de 5, il existe au moins un entier naturel \(b\) tel que \(d \times b\) soit un « repet1».
Modifier l'algorithme précédent afin que, pour une valeur de \(d\) donnée, l'algorithme, soit indique que \(b\) n'existe pas, soit permette de trouver la plus petite valeur de \(b\).

Entrée

\(a\), chiffre, \(r\) sont des nombres entiers Traitement
\(a\), chiffre, \(r\) prennent la valeur 0
Tant que \(r \neq 1\)
\(a\) prend la valeur \(7 \times\) chiffre \(+r\) si \(a\) se termine par 1
\(r\) prend la valeur \((a-1) / 10\)
afficher chiffre
chiffre prend la valeur 0
sinon
chiffre prend la valeur chiffre +1
Fin tant que
4. Si \(d=451\), déterminer tous les entiers naturel \(b\) tels que \(d \times b\) soit un « repet 1 ».