Exercice 1 — Plans coupant une sphère

Sujet

On s'intéresse aux découpages d'une sphère de centre O .

Partie A - plans coupant une sphère

1. Quand on coupe la sphère par un plan qui passe par le centre O on obtient un «grand cercle» qui partage la sphère en deux hémisphères. Pour chaque hémisphère, quelle est la probabilité qu'un point de la sphère choisi au hasard se trouve dessus?
2. On coupe la sphère par deux plans perpendiculaires passant par le centre O (figure 1). On considère un des quartiers ainsi délimités. Quelle est la probabilité qu'un point de la sphère pris au hasard se trouve dans ce quartier?

Figure 1
Une sphère coupée par deux plans perpendiculaires

Figure 2
Une sphère coupée par deux plans...

Figure 3
...donne naissance à quatre fuseaux

Plus généralement, on coupe la sphère par deux plans passant par O qui forment un angle de mesure en degré \(\alpha\) strictement comprise entre 0 et \(180^{\circ}\). Ils délimitent alors quatre portions de la sphère appelées fuseaux (figures 2 et 3 ).
On admet que la somme de deux angles de même sommet «s'appuyant» sur un même grand cercle vaut \(180^{\circ}\) : sur la figure 3 , \(\alpha+\alpha^{\prime}=180^{\circ}\).
3. On note \(p_{1}\) la probabilité qu'un point de la sphère choisi au hasard se trouve sur le fuseau marqué « \(1 \gg\) sur la figure 3 . On admet que \(p_{1}\) est proportionnelle à l'angle \(\alpha\). Exprimer \(p_{1}\) en fonction de \(\alpha\).
4. Exprimer la probabilité \(p_{2}\) qu'un point de la sphère choisi au hasard se trouve sur le fuseau marqué « 2 ». Faire de même avec les fuseaux « 3 » et « 4 ».