Exercice 2 — Tous les entiers

Sujet

On écrit successivement les nombres entiers suivants, dans l'ordre.
\(1^{\text {er }}=1\)
\(2^{\text {ème }}=122\)
\(3^{\text {ème }}=122333\)
\(4^{\text {ème }}=1223334444\)
\(5^{\text {ème }}=122333444455555\)
\(6^{\text {ème }}=122333444455555666666\)
etc.
Tous les nombres entiers interviennent et sont alors écrits autant de fois que leur valeur.

1. Quel est le nombre de chiffres du \(9^{\text {ème }}\) nombre ?
2. Quel est le nombre de chiffres du \(11^{\text {ème }}\) nombre?
3. On note \(N\) le \(99^{\text {ème }}\) nombre. Quel est le nombre de chiffres de \(N\) ?
4. Combien \(N\) a-t-il de chiffres qui sont égaux à 1 ?
5. Quel est, compté à partir de la gauche, le \(2014{ }^{\text {ème }}\) chiffre de \(N\) ?
6. On effectue à présent la même construction en ne prenant en compte cette fois que les entiers impairs.
   Ainsi,
   le premier est 1 ,
   le deuxième est 1333,
   le troisième est 133355555 ,
   le quatrième est 1333555557777777 , etc.
   On note \(M\) le \(41^{\text {ème }}\) nombre ainsi obtenu.
   Quel est le \(2014{ }^{\text {ème }}\) chiffre de \(M\) ?