Exercice 3

Sujet

On dispose d'un ordinateur dépourvu de toute fonctionnalité, à l'exception du programme suivant, traduit en langage naturel :

Début

\[ r \leftarrow 1-\frac{a}{b} \]

Afficher le résultat \(r\)
Fin

1. a) Qu'affiche l'ordinateur lorsque l'on choisit \(a=1\) et \(b=4\) ?
   b) Pour quels couples de nombres réels ( \(a\); \(b\) ) choisis en entrée l'ordinateur affiche-t-il un message d'erreur?
2. a) On choisit \(a=1\) en entrée.

Existe-t-il des valeurs de \(b\) à saisir en entrée pour lesquelles l'affichage final est \(b\) ? Si oui, lesquelles?
b) Même question avec \(a=-2\) en entrée.
c) Discuter, selon les valeurs de \(a\), l'existence de valeurs de \(b\) à choisir en entrée pour lesquelles l'affichage final est \(b\).
Lorsqu'elles existent, donner leur expression en fonction de \(a\).
Dans la suite, on notera a o b (qui se lit a «rond» b) le résultat affiché par l'algorithme lorsque l'on choisit des réels a et \(b\) en entrée ne produisant pas un message d'erreur.
Par exemple : \(1 \circ 2=1-\frac{1}{2}=0,5\).
3. À quelle condition sur \(a\) et \(b\) a-t-on \(a \circ b=0\) ?
4. Existe-t-il des réels \(a\) et \(b\) distincts tels que \(a \circ b=b \circ a\) ?
5. Expliquer comment on peut obtenir le résultat de ( \(1 \circ 2\) ) \(\circ 3\) à l'aide de cet ordinateur.
6. a) Vérifier que, pour tout réel \(b\) non nul : \((a \circ b) \circ 1=\frac{a}{b}\).
b) En déduire une expression n'utilisant que o permettant d'obtenir l'inverse d'un réel \(b\) non nul.
c) Sans effectuer de calculs, utiliser ce qui précède pour déterminer l'opération obtenue par l'expression: \((a \circ[(1 \circ b) \circ 1]) \circ 1\).
7. a) Vérifier que, pour tout réel \(a\) différent de \(b\) et \(b\) non nul, on a : \(1 \circ(a \circ b)=\frac{a}{a-b}\).
b) En déduire une expression ne comportant que l'opération ∘ permettant d'obtenir \(a-b\).