Exercice 2 — Les segments aléatoires

Sujet

On considère l'algorithme et le repère suivants :

VARIABLES
    p1 EST_DU_TYPE NOMBRE
    p2 EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
    p1 PREND_LA_VALEUR ALEA_ENT(1,6)
    p2 PREND_LA_VALEUR ALEA_ENT(0,6)
    TRACER_SEGMENT (0,p1)->(p1,0)
    TRACER_SEGMENT (0,p2)->(p2,6)
FIN_ALGORITHME

La commande «ALEA\_ENT( \(a, b\) )» permet de générer de manière équiprobable un nombre entier aléatoire compris entre \(a\) et \(b\) (inclus).
La commande «TRACER\_SEGMENT \((a, b) \rightarrow(c, d)>\) génère le tracé du segment de droite d'extrémités les points de coordonnées \((a ; b)\) et \((c ; d)\) dans le repère ci-dessus.

1. Représenter les segments obtenus pour \(\mathrm{p} 1=1\) et \(\mathrm{p} 2=5\).
2. Démontrer que tous les segments programmés à la ligne 7 de l'algorithme sont de même direction quelle que soit la valeur de p1.
3. Quelle est la probabilité que les segments programmés aux lignes 7 et 8 soient perpendiculaires ?

On complète l'algorithme précédent par une troisième variable p3 qui permet de programmer le tracé d'un troisième segment.

VARIABLES
    p1 EST_DU_TYPE NOMBRE
    p2 EST_DU_TYPE NOMBRE
    p3 EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
    p1 PREND_LA_VALEUR ALEA_ENT(1,6)
    p2 PREND_LA_VALEUR ALEA_ENT(0,6)
    p3 PREND_LA_VALEUR ALEA_ENT(0,6)
    TRACER_SEGMENT (0,p1)->(p1,0)
    TRACER_SEGMENT (0,p2)->(p2,6)
    TRACER_SEGMENT (0,p3)->(6,p3)
FIN_ALGORITHME

1. Quelle particularité tous ces nouveaux segments programmés à la ligne 11 ont-ils en commun, quelle que soit la valeur de p3 ?
2. Quelle est la probabilité que ces trois segments se coupent deux à deux de telle sorte que l'on obtienne trois points distincts formant un triangle rectangle?