On dispose d'un ordinateur dépourvu de toute fonctionnalité, à l'exception du programme suivant, traduit en langage naturel :
\[ r \leftarrow 1-\frac{a}{b} \]
Afficher le résultat \(r\)
Fin
Existe-t-il des valeurs de \(b\) à saisir en entrée pour lesquelles l'affichage final est \(b\) ? Si oui, lesquelles?
b) Même question avec \(a=-2\) en entrée.
c) Discuter, selon les valeurs de \(a\), l'existence de valeurs de \(b\) à choisir en entrée pour lesquelles l'affichage final est \(b\).
Lorsqu'elles existent, donner leur expression en fonction de \(a\).
Dans la suite, on notera a o b (qui se lit a «rond» b) le résultat affiché par l'algorithme lorsque l'on choisit des réels a et \(b\) en entrée ne produisant pas un message d'erreur.
Par exemple : \(1 \circ 2=1-\frac{1}{2}=0,5\).
3. À quelle condition sur \(a\) et \(b\) a-t-on \(a \circ b=0\) ?
4. Existe-t-il des réels \(a\) et \(b\) distincts tels que \(a \circ b=b \circ a\) ?
5. Expliquer comment on peut obtenir le résultat de ( \(1 \circ 2\) ) \(\circ 3\) à l'aide de cet ordinateur.
On souhaite maintenant pouvoir effectuer les quatre opérations arithmétiques \((+;-; \times ;:)\) à l'aide de cet ordinateur, c'est-à-dire uniquement avec l'opération ○.
6. a) Vérifier que, pour tout réel \(b\) non nul : \((a \circ b) \circ 1=\frac{a}{b}\).
L'expression ( \(a o b\) ) o 1 permet donc d'obtenir le quotient de a par b.
On dispose donc ainsi d'un moyen pour effectuer une division grâce au programme précédent.
b) Sans effectuer de calculs, utiliser ce qui précède pour déterminer l'opération obtenue par l'expression : \((a \circ[(1 \circ b) \circ 1]) \circ 1\).
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