Exercice 3 — Par 2, par 3, par 5, par 9... Encore plus fort? par 11

Sujet

Olympe et Mat doivent travailler ensemble sur un défi lancé par leur professeur :
Défi : on sait tous reconnaître si un nombre est divisible par 2 , par 3 , par 5 ou par 9 grâce à des critères simples.
Je sais aussi reconnaître si un nombre est divisible par 11 sans utiliser la calculatrice.
Et vous?
Olympe et Mat commencent leur recherche chacun dans leur coin.
Tout à coup, Olympe s'écrie : « J'ai une idée. »
Mais elle veut ménager le suspense et ne pas tout lui dévoiler immédiatement. Elle lui raconte sa démarche.

Partie A

1. « J'ai effectué les produits suivants : \(11 \times 11 ; 34 \times 11 ; 24 \times 11,54 \times 11 ; 38 \times 11\) et \(64 \times 11\) et j'ai fait un constat. Trouveras-tu la même chose que moi? »
   Mettez-vous à la place de Mat et retrouvez le constat d'Olympe. Émettez alors une conjecture.
2. En écriture décimale, un nombre à deux chiffres s'écrit \(\overline{a b}\) où \(a\) et \(b\) sont deux entiers naturels compris entre 0 et 9 .
   La valeur de \(\overline{a b}\) est alors \(\overline{a b}=a \times 10+b\) avec \(a\) qui représente le chiffre des dizaines et \(b\) qui représente le chiffre des unités.
   Ainsi le nombre 25 s'écrit \(\overline{25}=2 \times 10+5\).
   Donnez la valeur de la multiplication de \(\overline{a b}\) par \(\overline{11}\) et justifiez ainsi votre conjecture (on pourra montrer que \(\overline{a b} \times \overline{11}=a \times 100+(a+b) \times 10+b\).
3. Est-ce que l'on peut étendre ce résultat à tout nombre à trois chiffres \(\overline{a b c}\) où \(a, b\) et \(c\) sont des entiers naturels compris entre 0 et \(9(\overline{a b c}=a \times 100+b \times 10+c)\) ?
   Justifiez votre réponse.

Partie B

Olympe et Mat commencent par regarder les nombres à trois chiffres. On les notera \(\overline{a b c}\) où \(a, b\) et \(c\) sont des entiers naturels compris entre 0 et 9 .

1. Mat dit alors à Olympe : « Ça y est, j'ai trouvé le critère de divisibilité par 11! C'est facile, il te suffit d'observer que \(110,374,594,154,781,352,242\) et 231 sont des nombres divisibles par 11 . »
   a) Qu'a-t-il ainsi pu proposer comme critère de divisibilité par 11 ?
   b) Olympe réfléchit et lui répond : « Regarde, \(704=11 \times 64\). 704 est bien divisible par 11 et pourtant ton critère ne fonctionne pas. »
   Que pouvez-vous en déduire concernant le critère de Mat?
2. Tous deux veulent désormais trouver un critère infaillible. En cherchant sur Internet, ils ont trouvé un tableau donné ci-dessous qu'ils ont décidé de remplir et de comprendre.
   a) Mettez-vous à la place d'Olympe et Mat et remplissez ce tableau :