Exercice 1 — La pétanque bretonne

Sujet

Règle du jeu :

Le jeu se joue un contre un. Chaque joueur a 3 palets.
On tire au hasard le premier lanceur. À tour de rôle, les joueurs lancent un palet à plat le plus près possible du phare quille sans le faire tomber.

Si un joueur fait tomber le phare quille, il perd 1 point, l'autre n'en marque pas, et la partie est terminée. Sinon le gagnant marque autant de points qu'il a de palets mieux placés que le meilleur palet de l'équipe adverse.
Ainsi, sur une partie le gagnant obtient soit \(0,1,2\) ou 3 points (on suppose qu'il n'y a jamais égalité sur une partie). Le gagnant recommence à jouer pour la partie suivante. Il faut totaliser un minimum de 15 points pour gagner une manche.

1. Paul et Martine jouent à la pétanque bretonne. Paul est le gagnant de la première manche sur le score de 15 contre 11. Il n'y a pas eu de phare quille renversé durant cette manche, et les joueurs ont effectué 15 parties. Paul en a gagné 6 .
   a) Montrer que Paul a gagné au moins trois parties à 3 points.
   b) Écrire les possibilités de scores sur les parties remportées par Paul : nombre de parties à 3 points, nombre de parties à 2 points, et nombre de parties à 1 point (sans tenir compte de l'ordre d'obtention des points).
   c) Montrer que Martine a gagné au moins 7 parties à 1 point.
   d) Écrire les possibilités de scores sur les parties remportées par Martine (sans tenir compte de l'ordre).
2. Martine a remporté la deuxième manche sur le score de 15 contre 13. Chacun a gagné 8 parties. Il n'y a pas eu de phare quille renversé durant cette manche.
   a) On note \(x\) le nombre de parties à 3 points remportées par Martine durant cette manche, \(y\) le nombre de parties à 2 points, et \(z\) le nombre de parties à 1 point. ( \(x, y, z\) ) est appelé un triplet.
   \(\alpha\) Montrer que \(2 x+y=7\).
   \(\beta\) En déduire tous les triplets \((x, y, z)\) qui peuvent amener aux 15 points obtenus par Martine.