Exercice 2 — Triplets pythagoriciens (variante 1)

Sujet

On rappelle tout d'abord qu'un entier \(n \geqslant 2\) est premier s'il admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même. Par exemple, 7 est premier car il admet pour seuls diviseurs 1 et 7 . Par contre, 15 n'est pas premier car il a pour diviseurs \(1 ; 3 ; 5\) et 15 .
Soient \(x, y\) et \(z\) trois entiers strictement positifs Le triplet \((x ; y ; z)\) est un triplet pythagoricien s'il vérifie la relation de Pythagore \(x^{2}=y^{2}+z^{2}\).
Le triplet ( \(5 ; 4 ; 3\) ) est un triplet pythagoricien car il vérifie la relation \(5^{2}=4^{2}+3^{2}=25\).

1. Vérifier que les triplets \((13 ; 12 ; 5)\) et \((29 ; 20 ; 21)\) sont des triplets pythagoriciens.
2. Montrer que si ( \(x ; y ; z\) ) est un triplet pythagoricien alors ( \(x ; z ; y\) ) l'est aussi. On dira que ( \(x ; y ; z\) ) et \((x ; z ; y)\) sont équivalents.
3. a) Soit \(k\) un entier strictement positif. Montrer que si ( \(x ; y ; z\) ) est un triplet pythagoricien alors ( \(k x ; k y ; k z\) ) l'est aussi.
   b) En déduire un autre triplet pythagoricien composé de nombres tous supérieurs à 100 .
4. a) Soient \(p\) et \(q\) deux entiers, avec \(p>q>0\). Montrer que ( \(p^{2}+q^{2} ; p^{2}-q^{2} ; 2 p q\) ) est un triplet pythagoricien.
   b) Déterminer un couple d'entiers ( \(p ; q\) ) permettant de générer le triplet ( \(5 ; 4 ; 3\) ) ou son équivalent.
   c) Existe-t-il des entiers \(p\) et \(q\) permettant de générer le triplet ( \(15 ; 12 ; 9\) ) ?
   d) Soient \(p\) et \(q\) deux entiers, avec \(p>q>r\) et \(k\) un entier strictement positif. Justifier que \(\left(k\left(p^{2}+q^{2}\right) ; k\left(p^{2}-q^{2}\right) ; 2 k p q\right)\) est un triplet pythagoricien. Cette dernière formule est appelée la formule des générateurs euclidiens.
   e) Chercher tous les triplets pythagoriciens de nombres ne dépassant pas 15, et générés directement par cette formule des générateurs euclidiens (on ne demande pas de donner les triplets équivalents associés).
5. On admet pour cette question que tous les triplets pythagoriciens ou leur équivalent sont de la forme donnée par la formule des générateurs euclidiens.
   Existe-t-il un triangle rectangle dont les mesures de côté soient entières et ayant pour périmètre 646?
6. On souhaite maintenant prouver le résultat admis à la question 5 , c'est-à-dire montrer que tous les triplets pythagoriciens (ou leur équivalent) sont bien de la forme donnée par la formule des générateurs euclidiens.
   a) Dans cette question 6a. , on considère des entiers \(x, y\) et \(z\) premiers entre eux (c'est-à-dire n'ayant pas de diviseur commun autre que 1).
   i. Expliquer pourquoi y et z ne peuvent alors pas être tous les deux pairs.
   ii. Montrer que \(y\) et \(z\) ne peuvent pas être tous les deux impairs. Pour cela, on pourra poser \(y=2 Y+1\) et \(z=2 Z+1\) et montrer qu'on aboutit alors à une contradiction à partir de l'égalité \(x^{2}=y^{2}+z^{2}\).
   iii. En déduire que \(x\) est impair.