Sujet
On se propose de chercher s'il existe un triangle équilatéral ABC et un point O tels que \(O A=1, O B=2\) et \(O C=3\).
- Considérons un segment \([\mathrm{PQ}]\), le cercle \(\mathcal{C}\) de centre P et de rayon 1 et la médiatrice ( \(d\) ) du segment \([\mathrm{PQ}]\). Le cercle \(\mathcal{C}\) et la droite ( \(d\) ) se coupent en deux points : nommons R l'un d'eux.
Montrer que le triangle PQR est équilatéral. - Considérons un point O et des cercles \(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}\) et \(\mathcal{C}_{3}\) centrés en O et de rayons respectifs 1,2 et 3 . Soit C un point de \(\mathcal{C}_{3}\).
Nommons E et F les intersections respectives des cercles \(\mathcal{C}_{1}\) et \(\mathcal{C}_{2}\) avec le segment [OC].
Considérons les médiatrices ( \(d_{1}\) ) et ( \(d_{2}\) ) des segments [OE] et [OF], A une intersection de \(\mathcal{C}_{1}\) et ( \(d_{1}\) ), et B une intersection de \(\mathcal{C}_{2}\) et ( \(d_{2}\) ), de sorte que A et B soient de part et d'autre du segment [OC]. Enfin, nommons I le milieu du segment [OE].
a) En choisissant un repère approprié, déterminer les longueurs \(O A, O B, O C, A C, B C\) et \(A B\). Conclure.
b) Proposer une preuve géométrique qui n'utilise pas de repère.
NDLR. L'intérêt de cet exercice est de pouvoir être résolu de multiples façons selon le cadre choisi par l'élève ou disponible pour lui.
A : En utilisant un repère
1.\(\mathrm{P} \in \mathcal{C}\) donc \(P R=P Q\).
(d) est la médiatrice du segment \([\mathrm{PQ}]\) et \(\mathrm{R} \in(d)\).
Donc \(R P=R Q\).
Donc \(P R=P Q=R Q\). PQR est donc équilatéral.
2. Soit G et K les points d'intersection de \(\mathcal{C}_{1}\) avec la perpendiculaire à ( \(O C\) ) passant par O .
On se place dans le repère orthonormé ( \(\mathrm{O} ; \overrightarrow{O E}, \overrightarrow{O G}\) ).
On a de manière évidente : \(\mathrm{O}(0 ; 0), \mathrm{E}(1 ; 0), \mathrm{F}(2 ; 0) ; \mathrm{C}(3 ; 0) ; \mathrm{I}\left(\frac{1}{2} ; 0\right)\).
D'après 1, OAE est équilatéral donc ( \(A I\) ) est hauteur issue de A dans OAE.
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle IOA rectangle en I : \(O A^{2}=O I^{2}+A I^{2}\).
Donc \(A I^{2}=O A^{2}-O I^{2}=1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}\). Donc \(A I=\frac{\sqrt{3}}{2}\) (*) et donc A \(\left(\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Un raisonnement similaire dans le triangle équilatéral OBF donne \(E B=\sqrt{3}(* *)\) et donc \(\mathrm{B}(1 ;-\sqrt{3})\). \(\mathrm{A} \in \mathcal{C}_{1}\) donc \(O A=1 . \mathrm{B} \in \mathcal{C}_{2}\) donc \(O B=2 . \mathrm{C} \in \mathcal{C}_{3}\) donc \(O C=3\).
\[ A B=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{7} \]
donc \(A B=\sqrt{7}\).
\(B C=\sqrt{(3-1)^{2}+(\sqrt{3})}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}\).