Exercice 3 — Parties de tennis

Sujet

Adrien, fort préoccupé de son budget, demande à son père une augmentation de son argent de poche lors de son entrée au lycée. Celui-ci lui répond qu'il accédera à sa demande si, au cours de trois parties de tennis, il parvient à en gagner deux. A chaque partie il s'attaquera à un adversaire différent, ceux-ci étant le père lui-même et le frère d'Adrien. Cependant, le père d'Adrien hésite entre deux règles :

Règle 1 : Exiger que les deux parties gagnées soient consécutives
ou bien
Règle 2 : Simplement exiger deux parties gagnées.
Le père d'Adrien est plus fort que le frère d'Adrien.
On notera \(p\) la probabilité qu'Adrien batte son père et \(q\) celle qu'il batte son frère. L'hypothèse précédente impose \(p

A : Le père d'Adrien veut savoir laquelle des deux règles est la moins risquée pour lui (c'est-à-dire celle qui risque le moins de faire augmenter l'argent de poche de son fils).
Dans cette partie, on suppose que \(p=\frac{1}{3}\) et que \(q=\frac{1}{2}\).

1. Le père choisit la Règle 1.

Quelle est la probabilité qu'Adrien voit son argent de poche augmenter s'il choisit de commencer à jouer contre son père?
Et s'il choisit de commencer à jouer contre son frère?
2. Que deviennent ces probabilités si le père choisit la Règle 2 ?
3. Laquelle des deux règles semble la moins défavorable au père de Adrien?
\(\mathbf{B}\) : On suppose dans cette partie que le père d'Adrien a choisi la Règle 1.
On revient ici au cas général où on ne connait pas les valeurs de \(p\) et de \(q\).
On a seulement \(p

1. Exprimer en fonction de \(p\) et de \(q\) la probabilité qu'Adrien augmente son argent de poche en commençant à jouer contre son père.
2. Exprimer en fonction de \(p\) et de \(q\) la probabilité qu'Adrien augmente son argent de poche en commençant à jouer contre son frère.
3. Que peut-on conseiller à Adrien concernant le choix de son premier adversaire?