Exercice 2 — Poursuite en pleine mer

Sujet

A bord de leur petite embarcation, les militants d'une association de sauvegarde de l'environnement tentent de couper la route à un baleinier afin de l'empêcher de harponner un gros cétacé dont l'espèce est en voie de disparition. Le baleinier avance toujours en ligne droite, à vitesse constante, de même que l'embarcation des militants. On note B l'emplacement du baleinier et G celui de l'embarcation des militants à l'instant \(t=0\).

On se place dans un repère orthonormé d'origine B et, pour simplifier l'étude, on peut attribuer à G les coordonnées \((1 ; 0)\). On pourra prendre 6 cm pour unité graphique.

Rappel : Dans un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre \(\mathrm{O}(a ; b)\) et de rayon \(r\) est :

\[ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} . \]

1. On suppose tout d'abord que les deux bateaux ont des vitesses égales.
   a) Parmi les différentes directions que peut suivre le baleinier, quelles sont celles qui permettent aux militants de choisir un cap qui coupe la route au baleinier?
   b) Où peuvent alors se situer les points de rencontre?
2. On suppose maintenant que la petite embarcation avance deux fois plus vite que le baleinier.
   a) Où peut se situer une rencontre sur la droite ( \(B G\) ) ?
   b) Montrer que le lieu des points de rencontre possibles est un cercle dont on donnera la position du centre C et le rayon \(r\).
   c) Est-il vrai que, quel que soit la direction suivie par le baleinier, les militants peuvent toujours choisir une direction pour lui couper la route?
3. On suppose enfin que la petite embarcation avance deux fois moins vite que le baleinier.
   a) Où peuvent se situer les points de rencontre possibles?
   b) Parmi les différentes directions que peut suivre le baleinier, quelles sont celles qui permettent aux militants de choisir un cap qui coupe la route au baleinier? On donnera une condition d'angle.