Exercice 1

Sujet

Le solitaire chinois se joue seul, sur un plateau de taille quelconque présentant des cases vides (pion blanc) et des cases occupées par des pions noirs
Un pion peut en prendre un autre situé sur une case adjacente en sautant par dessus. Les prises en diagonale sont interdites. Exemple sur un plateau de taille \(3 \times 3\) :

On gagne si on parvient à ne laisser qu'un seul pion sur le plateau.

1. Proposer une solution permettant de gagner à partir du plateau initial suivant :
   

A chaque diagonale du plateau, on attribue un label du type ( \(x ; y\) ). En partant de la diagonale la plus en haut à droite du plateau, ces labels sont successivement :

\[ (1 ; 0) \quad(0 ; 1) \quad(1 ; 1) \quad(1 ; 0) \quad(0 ; 1) \quad(1 ; 1) \quad \text { etc. } \]

Pour calculer la valeur du plateau :

• on ajoute les labels de tous les pions présents, on obtient un résultat du type ( \(x ; y\) )
• puis on transforme ce résultat en remplaçant les nombres pairs par 0 , et les nombres impairs par 1.
  Par exemple, la valeur du plateau précédent est :

\[ 1 \times(0 ; 1)+2 \times(1 ; 1)+2 \times(1 ; 0)=(4 ; 3) \xrightarrow{\text { transformation }}(0 ; 1) \]

a) Calculer les valeurs des plateaux suivants :


b) On considère cet extrait d'un plateau sur laquelle a lieu une prise vers la droite :

Quelle est la valeur de cet extrait du plateau avant la prise ? Et après la prise ?
c) Étudier de même, selon le label du pion preneur, les 5 autres types de prises vers la droite ou vers la gauche possibles.
En déduire que la valeur est également inchangée lors des prises vers le haut ou vers le bas, et que la valeur globale du plateau ne change pas au cours du jeu.
3. Dans cette question, on s'intéresse à ce plateau initial de solitaire chinois :

a) Calculer sa valeur.
b) Peut-on le terminer avec un seul pion?
4. On considère maintenant un plateau initial carré, chaque côté présente \(n\) cases ( \(n \geqslant 3\) ). Toutes les cases sont occupées, sauf le coin inférieur droit :

a) Quel label porte la diagonale principale du carré lorsque \(n=2014\) ? Et lorsque \(n=2015\) ? Et 2016?
b) Lorsque \(n\) est de la forme \(n=3 k+2\) avec \(k\) entier \(\geqslant 1\), montrer qu'on ne peut pas terminer ce plateau avec un seul pion.
On pourra commencer par calculer la valeur du plateau initial si tous les pions sont présents.
c) Étudier de même le cas où \(n\) est de la forme \(n=3 k+1\) avec \(k\) entier \(\geqslant 1\).

Note: le cas où \(n\) est multiple de 3 est plus délicat, on ne l'étudie pas dans cet exercice.