Exercice 1 — L'exception gagne — Olympiades 2014 Paris

Sujet

On considère \(n\) joueurs où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 3 . Chacun des \(n\) joueurs dispose d'une pièce de monnaie bien équilibrée qu'il lance une fois. Est gagnant celui qui obtient pile lorsque tous les autres obtiennent face ou obtient face lorsque tous les autres obtiennent pile.
La partie peut donc ne pas avoir de gagnant.

Quelle est la probabilité qu'une partie donne un gagnant.
On suppose maintenant que \(n=4\) et que vous faites partie des joueurs. Quelle est la probabilité que
a) vous gagniez à la première partie ?
b) vous gagniez à la deuxième partie ?

La probabilité d'avoir un gagnant lors d'une partie à \(n\) joueurs est : \(\frac{n}{2^{n}}+\frac{n}{2^{n}}=\frac{2 n}{2^{n}}\)
Dans le cas où \(n=4\), cela donne \(\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
La probabilité pour que ce soit vous le gagnant est de \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\), car chaque joueur a la même probabilité de gagner.
Pour que vous gagniez à la deuxième partie, il faut que personne n'ait gagné la première. Ce qui donne : \(\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\).