Exercice 2

Sujet

Première partie

ABC est un triangle rectangle en A . On trace le cercle de centre C et passant par A . Il coupe le segment \([\mathrm{BC}]\) en D .
On note \(A C=b ; A B=c\) et \(B D=x\).
On désire exprimer en fonction de \(c\) et de \(x\) les longueurs des côtés du triangle rectangle

1. Cas particulier : on donne ici \(c=16\) et \(x=4\).

Calculer les longueurs des trois côtés du triangle ABC
2. Cas général :
a) Exprimer en fonction de \(c\) et de \(x\) les longueurs \(A B, A C\) et \(B C\).
b) En déduire que si \(c\) et \(x\) sont des entiers naturels tels que \(c>x>0\) alors le triangle ayant pour longueurs de côtés : \(2 c x ; c^{2}-x^{2}\) et \(c^{2}+x^{2}\) est un agrandissement du triangle ABC .

Dans la suite du problème, on appellera «Pytho-triangle» un triangle ayant pour longueurs de côtés : \(2 c x ; c^{2}-x^{2}\) et \(c^{2}+x^{2}\) où \(c\) et \(x\) sont des entiers naturels tels que \(c>x>0\).
3. a) Déterminer le «Pytho-triangle» tel que \(c=50\) et \(x=4\) en précisant les longueurs des trois côtés.
b) Vérifier que ce triangle est rectangle.
4. Démontrer qu'un «Pytho-triangle» est rectangle.

Deuxième partie

Le but de cette partie est de déterminer tous les «Pytho-triangles» ayant un côté de longueur 40.

1. On dispose de l'algorithme écrit de quatre manières :( INT ou floor \(=\) partie entière et sqrt \(=\) racine carrée)