Sujet
On considère un carré ABCD de côté 13 cm et quatre points \(\mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}\) et L situés sur les côtés du carré comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On découpe alors le carré en 5 rectangles AIEJ, JDLH, LCKG, BKFI, EFGH afin de réaliser un puzzle :
Les deux parties sont indépendantes.
Partie I
Dans cette partie, on suppose que les 5 pièces du puzzle ont la même aire et on se propose de déterminer alors les positions des points \(\mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}\) et L . On suppose de plus que : \(A I \leqslant B K\).- Que vaut l'aire de chacun des 5 rectangles dans ce cas?
- Démontrer successivement : \(A J \geqslant B I\) puis \(D J \leqslant B K\).
- Démontrer que \(C L \leqslant D J\).
- Comparer de même \(B K\) et \(C L\).
- En déduire les égalités \(A I=D J=C L=B K\).
- Déterminer les valeurs exactes de \(A I\) et de \(A J\), et en donner des valeurs approchées.
Partie II
Dans cette partie, on suppose que les 5 pièces du puzzle admettent pour longueurs des cotés les dix nombres entiers \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) et 10 et on se propose de déterminer alors les positions des points I, J, K et L.- Donner les couples ( \(x, y\) ), où \(x\) et \(y\) sont des entiers compris entre 1 et 10 , tels que \(x+y=13\).
- En déduire les longueurs des côtés du rectangle intérieur EFGH.
- Donner une solution au problème posé.
Partie I
- Aire des cinq rectangles : On suppose que les points E et G sont tels que les cinq rectangles AIEJ, BKFI, CLGK, DJHL et EFGH soient de même aire notée \(S\) On a donc \(S=1 / 5\) aire du carré = 169/5.
2 . On suppose \(A I \leqslant B K\).
Comme les rectangles AIEJ et BKFI sont de même aire, on a alors : \(A J \geqslant B I\)
Comme \(A J+D J=A I+B I\), on en déduit : \(D J \leqslant A I\). - De même, ayant \(D J \leqslant A I\) :
Comme les rectangles DJHL et AIEJ sont de même aire, on a alors : \(D L=\geqslant A J\)
Comme \(D L+C L=A J+D J\), on en déduit : \(C L \leqslant D J\).
4. De même, ayant \(C L \leqslant D J\) :
Comme les rectangles CLGK et DJHL sont de même aire, on a alors : \(C K \geqslant D L\).
Comme \(C K+B K=D L+C L\), on en déduit : \(B K \leqslant C L\).
5. Finalement : \(A I \leqslant B K \leqslant C L \leqslant D J \leqslant A I\), d'où : \(A I=B K=C L=D J\).
On en déduit, grâce à l'égalité des aires (ou des côtés du carré) que : \(A J=B I=C K=D L\) (égal aussi à \(13-A I\) ).
6. Calculons alors AI.
L'aire du rectangle AIEG étant égale à \(169 / 5\), on a : \(5 A I^{2}-65 A I+169=0\).
En résolvant l'équation du second degré, on obtient \(A I=\frac{65+13 \sqrt{5}}{10} \approx 9\), 4 et \(A J=B I=13-A I= \frac{65-13 \sqrt{5}}{10} \approx 3,6\) ou l'inverse.
D'où une solution pour les points E et G E est le point de la diagonale [DB] tel que
\[ A I=\frac{65-13 \sqrt{5}}{10} \approx 3,6 \]
G est le symétrique du point E par rapport au centre du carré.
Partie II
- Les couples d'entiers qui vérifient \(x+y=13\) entre 1 et 10 sont : \(10+3=9+4=8+5=7+6\).
On remarque que ces 8 entiers distincts sont nécessairement répartis autour du carré de coté 13 et donc le carré central a pour cotés 1 et 2 .
2. On a donc par exemple \(A J-B K=2\) et \(D L-A I=1\).
Posons \(a=A I\) et \(b=A J\).
On est donc amené à chercher deux valeurs \(a, b\) telles que les 8 nombres
\(a, b, 13-b, a+1,12-a, 15-b, b-2,13-a\) soient dans un ordre quelconque égaux à \(3,4,5,6,7,8,9,10\).
On remarque que \(a \neq 10\) (sinon \(a+1=11\) ) et \(b \neq 3, b \neq 4\) (sinon \(b-2=1\) ou \(15-b=11\) ).
Il faut ensuite chercher par tâtonnement sachant que par symétrie du problème on peut supposer que \(a=9\).
3. On trouve assez rapidement \(a=9, b=7, c=10, d=5\) On obtient alors la figure suivante: