Exercice 4 — Les nombres pentagonaux

Sujet

1. On construit une succession de pentagones \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\) comme ci-dessous.
   •
   
   
   \(p_{1} \quad p_{2}\)
   \(p_{3}\)

\(p_{4\)}

Sur chaque côté du pentagone, il y a un point de plus qu'à l'étape précédente.
Le nombre de points de chaque figure est appelé « nombre olympique».
On note \(u_{n}\) le \(n^{\text {ième }}\) nombre olympique.
a) Donner les valeurs de \(u_{1}, u_{2}, u_{3}\) et vérifier que \(u_{4}=15\).
b) Soit \(n\) un entier plus grand que 2 .

Trouver une relation entre \(u_{n+1}\) et \(u_{n}\) puis donner l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
c) 2014 est-il un nombre olympique?
2. On construit cette fois-ci une succession de pentagones emboîtés \(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\) comme ci-dessous.
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\(P_{1}\)
\(P_{2}\)
\(P_{3}\)
\(P_{4}\)
Le nombre de points de chaque figure est appelé « nombre pentagonal».
On note \(v_{n}\) le \(n^{\text {ième }}\) nombre pentagonal.
a) Donner les valeurs de \(v_{1}, v_{2}\) et \(v_{3}\) puis vérifier que \(v_{4}=22\).