Olympiades · Académie Nice · 2014 · Séries autres que S
La suite de nombres de Fibonacci est une suite d'entiers naturels qui commence par les termes 1 et 1 et dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.
On note \(F_{1}=1\) puis \(F_{2}=1\) les deux premiers termes de cette suite.
On déduit \(F_{3}=F_{1}+F_{2}=2\), puis \(F_{4}=F_{2}+F_{3}=3\), etc.
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{C}\) | \(\mathbf{D}\) | \(\mathbf{E}\) | \(\mathbf{F}\) | \(\mathbf{G}\) | \(\mathbf{H}\) | \(\mathbf{I}\) | \(\mathbf{J}\) | \(\mathbf{K}\) | \(\mathbf{L}\) | \(\mathbf{M}\) | \(\mathbf{N}\) | \(\mathbf{O}\) | \(\mathbf{P}\) | \(\mathbf{Q}\) | |
| \(\mathbf{1}\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| \(\mathbf{2}\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 |
Dans les cellules A1 à Q1 on a représenté les entiers consécutifs de 1 à 17 .
Dans les cellules A2 à Q2 on a représenté les premiers nombres de la suite de Fibonacci.
a) Quelle formule a été saisie dans la cellule C2 puis recopiée de D2 à Q2 ?
b) 2014 est-il un nombre de la suite de Fibonacci? Justifier la réponse.
3. On souhaite connaître la valeur du nombre \(s=F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2013}\), somme des premiers nombres de la suite de Fibonacci d'indice impair (de 1 à 2013).
a) Vérifier que \(F_{1}+F_{3}=F_{4}\) puis que \(F_{1}+F_{3}+F_{5}=F_{6}\).
En déduire que le nombre \(s\) est un nombre de la suite de Fibonacci.
Préciser lequel en justifiant la réponse.
b) On souhaite écrire un algorithme qui calcule ce nombre \(s\).
Quelles variables mettre à la place des trois zones en pointillés de l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il demande à l'utilisateur un entier naturel \(n \geqslant 3\) puis qu'il calcule et affiche le nombre \(F_{n}\) correspondant?
Variables : n,A,B,C et i sont cinq entiers naturels
Initialisation : Affecter à A la valeur 1
Affecter à B la valeur 1
Traitement : Lire n
Pour i variant de 3 à n
| Affecter à C la valeur A+B
| Affecter à A la valeur ...
| Affecter à B la valeur ...
Sortie : Afficher ...
On recopiera et on complètera cet algorithme sur la feuille de copie.
c) Quelle valeur donner à \(n\) pour que l'algorithme affiche le nombre \(s\) ?
4. Le théorème d'Édouard Zeckendorf (mathématicien belge, 1901-1983) affirme que tout entier positif s'écrit comme somme de nombres de Fibonacci, distincts et non consécutifs. Vérifier ce théorème avec le nombre 2014.
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