Exercice 2 — Les nombres \(k\)-gonaux

Sujet

1. On construit une succession de pentagones emboîtés comme ci-dessous :

Etape 1

A

Etape 2

Etape 3

Etape 4

Pour obtenir la figure à l'étape \(n(n \geqslant 2)\) :

• À partir du plus grand pentagone de l'étape ( \(n-1\) ), on prolonge d'un point les deux côtés adjacents au point A (côtés en gras dans les exemples).
• On complète alors la figure par des points pour obtenir le pentagone qui contient la figure de l'étape \((n-1)\) (points blancs dans les exemples)
  Le nombre total de points (blancs et noirs) de la figure obtenue à l'étape \(n\) est appelé « n-ième nombre pentagonal \(\gg\) et on le note \(p_{n}\).
  a) Donner les valeurs de \(p_{1}, p_{2}, p_{3}\) et vérifier que \(p_{4}=22\).
  b) Justifier que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 on a : \(p_{n}=p_{n-1}+3 n-2\).
  c) Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul on a :

\[ \left(p_{2}-p_{1}\right)+\left(p_{3}-p_{2}\right)+\cdots+\left(p_{n}-p_{n-1}=3(2+\cdots+n)-2(n-1)\right. \]

puis en déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :

\[ p_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2} \]

Indication : pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(: 1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
d) 2014 est-il un nombre pentagonal? Justifier la réponse.
2. On généralise le processus précédent en construisant une succession de polygones réguliers emboités ayant \(c\) côtés (où le nombre \(c\) est un entier naturel supérieur ou égal à 3 ).
Le nombre total de points de chaque figure est noté \(u_{n}\) et il est appelé « nombre \(c\)-gonal ».
Par exemple, la figure ci-dessous représente une succession d'hexagones ( \(c=6\) ).
Le nombre total de points de chaque figure est le nombre « 6-gonal ».

A

A

\(u_{4=28\)}

\(u_{1}=1\)

\[ u_{2}=6 \]

\(u_{3}=15\)