Sujet
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine O . Dans cet exercice on dit que, dans le repère, un point \(\mathrm{M}(x ; y)\) est à coordonnées entières lorsque chacune de ses coordonnées \(x\) et \(y\) sont des nombres entiers relatifs (donc positifs ou négatifs).
- Pour tout nombre entier naturel non nul \(r\), on considère \(\mathrm{A}(r ; r), \mathrm{B}(-r ; r), \mathrm{C}(-r ;-r)\) et \(\mathrm{D}(r ;-r)\). On a représenté ci-dessous le carré ABCD pour \(r=1\) et \(r=2\) :
\(r=1\)
\(r=2\)
Pour tout entier naturel non nul \(r\), on note \(f(r)\) le nombre de points à coordonnées entières contenus dans le carré ABCD (contour compris).
a) Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\) et \(f(2)\).
b) Déterminer l'expression de \(f(r)\) en fonction de \(r\). Justifier la démarche.
2. Pour tout nombre entier naturel non nul \(r\), on note \(\mathrm{P}(r ; 0), \mathrm{Q}(0 ; r), \mathrm{R}(-r ; 0)\) et \(\mathrm{S}(0 ;-r)\).
On a représenté ci-dessous le quadrilatère PQRS pour \(r=1\) et \(r=2\) :
\(r=1\)
\(r=2\)
Pour tout entier naturel non nul \(r\), on note \(g(r)\) le nombre de points à coordonnées entières contenus dans le quadrilatère PQRS (contour compris).
a) Par lecture graphique, déterminer \(g(1)\) et \(g(2)\).
b) Déterminer l'expression de \(g(r)\) en fonction de \(r\). Justifier la démarche.
Indication : on pourra comparer \(g(r)\) à \(f(r)\).
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