Exercice 2 — Décompositions en sommes d'entiers consécutifs

Sujet

Rappels: On dit que deux nombres entiers \(p\) et \(q\), dans cet ordre, sont consécutifs si \(q=p+1\).
On pourra utiliser la propriété :
Pour \(n\) nombre entier naturel non nul, \(1+2+3+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1) n}{2}\).

Questions

1. a) Écrire 2013 comme somme de deux nombres entiers naturels consécutifs.
   b) Quels sont les nombres entiers naturels qui, comme 2013, peuvent s'écrire comme somme de deux nombres entiers naturels consécutifs?
2. a) Écrire 2013 comme somme de trois nombres entiers naturels consécutifs.
   b) Quels sont les nombres entiers naturels qui, comme 2013, peuvent s'écrire comme somme de trois nombres entiers naturels consécutifs?
3. 2014 peut-il s'écrire comme somme de 2 ou de 3 nombres entiers consécutifs? Comme somme de 4 nombres entiers consécutifs? (Si oui, donner une telle écriture.)
4. Peut-on trouver un entier qui s'écrit à la fois comme somme de 3 nombres entiers consécutifs et comme somme de 4 nombres entiers consécutifs?
5. Chercher à écrire chacun des nombres entiers de 1 à 20 sous la forme de la somme d'au moins deux entiers consécutifs. Conjecturer la forme de ceux pour lesquels une telle écriture est impossible.
6. a) Quel est le plus petit entier qui peut s'écrire comme somme de 19 nombres entiers consécutifs non nuls?
   b) 2014 peut-il s'écrire sous la forme d'une somme de 19 entiers consécutifs non nuls?
7. Montrer que si 2014 peut s'écrire sous la forme \(2014=x+(x+1)+\cdots+(x+n-1)\), où \(x\) et \(n\) sont des nombres entiers, alors nécessairement \((2 x-1)^{2}+8 \times 2014\) est un carré parfait. A l'aide de la calculatrice, trouver une valeur de \(x\) comprise entre 1 et 30 qui convient. Déterminer alors toutes les écritures possibles de 2014 sous la forme de sommes de nombres entiers consécutifs.
8. 455 peut-il s'écrire sous la forme d'une somme de nombres entiers consécutifs? Donner toutes les écritures possibles.
9. Écrire un algorithme permettant de trouver toutes les écritures possibles de 455 sous la forme d'une somme de nombres entiers consécutifs.
10. Démontrer la conjecture de la question 5.