Exercice 4 — Des tableaux qui parlent d'eux-mêmes

1. Il y a deux solutions 1232 et 1313 .
2. La solution suivante n'est pas optimale en rapidité (on peut aller plus vite en excluant d'emblée certains cas, ou utiliser la somme des chiffres de la colonne de gauche comme au 3). Elle veut donner un « genre littéraire».
   On note \(\mathrm{L}_{0}, \mathrm{~L}_{1}, \ldots, \mathrm{~L}_{4}\) les cinq lignes du tableau.
   Chaque chiffre apparaît, donc il y a une seule fois le chiffre 0 dans un tableau vrai. Donc \(\mathrm{L}_{0}\) commence par 1.
   Le chiffre 2 apparaît déjà au moins 2 fois : à la ligne \(\mathrm{L}_{4}\) et à la ligne \(\mathrm{L}_{2}\). Il ne peut pas apparaître 2 fois exactement car on devrait écrire un 2 au début de \(\mathrm{L}_{2}\) et alors le chiffre 2 apparaitrait 3 fois et \(\mathrm{L}_{2}\) serait fausse.
   a) ) Premier cas : Supposons que le chiffre 2 apparaisse 3 fois. Donc \(\mathrm{L}_{2}\) commence par 3. Alors le chiffre 3 apparaît au moins 2 fois dans le tableau.
   Premier sous cas : le chiffre 3 apparaît exactement 2 fois. Dans ce cas \(\mathrm{L}_{3}\) commence par un 2.
   Le tableau finit donc par :
   3 fois le chiffre 2
   2 fois le chiffre 3
   2 fois le chiffre 4
   Mais pour que \(\mathrm{L}_{4}\) soit vraie alors il doit y avoir le chiffre 4 à la ligne \(\mathrm{L}_{1}\) et c'est impossible car il n'y a pas assez de 1 dans le tableau
   \(\underline{\text { Deuxième sous cas }}\) : le chiffre 3 apparaît exactement 3 fois. Dans ce cas \(\mathrm{L}_{3}\) commence par un 3.
   Le tableau finit donc par :
   3 fois le chiffre 2
   3 fois le chiffre 3
   2 fois le chiffre 4
   Mais alors il manque encore un 2 et un 3 et un 4 à écrire, c'est impossible avec seulement la ligne \(\mathrm{L}_{1}\) à compléter.
   Troisième sous-cas : le chiffre 3 apparaît exactement 4 fois. Dans ce cas \(\mathrm{L}_{3}\) commence par un 4
   Le tableau finit donc par :
   3 fois le chiffre 2
   4 fois le chiffre 3
   2 fois le chiffre 4
   Il faudrait donc faire apparaître encore un 2 et deux 3 avec \(\mathrm{L}_{1}\) : impossible.
   b) ) Deuxième cas : supposons que le chiffre 2 apparaisse 4 fois. Donc \(\mathrm{L}_{2}\) commence par 4 .

Avec les deux lignes :
4 fois le chiffre 2
2 fois le chiffre 4
On a seulement 2 apparitions de 2 . Donc on doit mettre un 2 en ligne \(\mathrm{L}_{1}\) et \(\mathrm{L}_{3}\) pour que \(\mathrm{L}_{2}\) dise vrai.
Ce qui donne le tableau

qui ment pour \(\mathrm{L}_{3}\).
3. a) Si le tableau est bien rempli alors la somme des chiffres dans la colonne de gauche est égale à 20 . En effet, en comptant les points noirs et les chiffres déjà écrits, il y a disons 20 cases dans le tableau. Or l'ensemble C des cases est partitionné en \(\mathrm{C}_{0}\) union \(\mathrm{C}_{1}\) union. . . \(\mathrm{C}_{9}\), où \(\mathrm{C}_{i}\) est l'ensemble des cases où il y a un \(i\) écrit. En notant \(n_{i}\) le cardinal de \(\mathrm{C}_{i}\), on a donc \(n_{0}+n_{1}+\cdots+n_{9}=20\). Or \(\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{9}\right)\) est exactement ce qui doit figurer dans la colonne de gauche.
b) Une solution est : \(1,7,3,2,1,1,1,2,1,1\).