Sujet
Sur une route rectiligne, un scooter est en A et deux piétons sont en B .
Le scooter part de A vers B ; au même instant les deux piétons partent de B à la même vitesse, mais en sens opposés.
Le scooter croise le premier piéton en M et double le deuxième piéton en \(\mathrm{M}^{\prime}\).
On sait que la vitesse du scooter est trois fois celle de chaque piéton et \(M M^{\prime}=6 \mathrm{~km}\) (attention, \(B M\) n'est pas égale à \(B M^{\prime} \ldots\) ).
Calculer alors la distance \(A B\).
Le temps \(t\) mis par le scooter pour croiser le premier piéton est \(t=\frac{A M}{3 v}=\frac{B M}{v}\) où \(v\) est la vitesse du piéton (et \(3 v\) celle du scooter) en \(\mathrm{km} / \mathrm{h}\). On a donc en multipliant membre à membre par \(3 v, A M=3 B M\). Puisque \(\mathrm{M} \in[\mathrm{AB}], A B-B M=3 B M\) d'où \(A B=4 B M\) et donc \(B M=\frac{x}{4}\) où \(x\) est la distance \(A B\) en km.
Le temps \(t^{\prime}\) mis par le scooter pour croiser le second piéton est \(t^{\prime}=\frac{A M^{\prime}}{3 v}=\frac{B M^{\prime}}{v}\) et en multipliant aussi par \(3 v\) membre à membre, on a \(A M^{\prime}=3 B M^{\prime}\). Puisque \(\mathrm{B} \in[\mathrm{AM}\) ' \(], A B+B M^{\prime}=3 B M^{\prime}\) d'où \(A B=2 B M^{\prime}\) et donc \(B M^{\prime}=\frac{A B}{2}=\frac{x}{2}\).
Enfin, on sait que \(M M^{\prime}=6\) et donc \(M B+B M^{\prime}=6\) d'où \(\frac{x}{4}+\frac{x}{2}=6\) ce qui donne \(\frac{3 x}{4}=6\) d'où \(x=6 \times \frac{4}{3}=8\).
La distance \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\) vaut donc 8 km .