Sujet
Louise, élève de CM1 dans la classe de Mme Densité, a pour consigne de construire des points équidistants sur un cercle. Pour ce faire, Louise pose la pointe sèche du compas sur le cercle au point A , coupe celui-ci avec la mine du compas, replace la pointe sèche sur le point d'intersection obtenu et reproduit l'expérience aussi longtemps qu'elle veut, sans revenir en arrière et en conservant toujours le même écartement de compas.
- Montrer que l'angle au centre \(\theta\) interceptant un arc formé par deux points successifs ainsi construits sur le cercle est constant.
- Quelle doit être la condition sur \(\theta\) pour que Louise coupe le cercle au point A après 8 coups de compas?
- Dans le cas général, quelle doit être la condition sur \(\theta\) pour que Louise recoupe le cercle au point A après un nombre entier \(n\) de coups de compas?
Supposons à présent cette condition non satisfaite : autrement dit, Louise ne recoupe jamais le cercle au point \(A\).
4. On place 10 points \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots, \mathrm{~A}_{10}\) régulièrement espacés sur un cercle. Montrer que si on positionne 11 points au hasard sur le cercle, il y en aura nécessairement 2 situés entre deux points consécutifs.
5. Le cercle a un rayon de 5 cm . Montrer que si Louise est patiente (ou chanceuse), elle pourra toujours trouver un écartement du compas qui lui permettra de recouper le cercle à moins de 5 mm du point A.
- Notons O le centre du cercle, I,J et K trois points successifs ainsi construits sur le cercle. On a \(O I=O J=O K\) et par construction \(I J=J K\) donc les triangles isocèles OIJ et OJK sont isométriques (les trois côtés de OIJ ont les mêmes longueurs que les trois côtés de OJK), en