Sujet
Partie A - Piétons et scooter
Sur une route rectiligne, un scooter est en A et deux piétons sont en B .
Le scooter part de A vers B ; au même instant les deux piétons partent de B à la même vitesse, mais en sens opposés.
Le scooter croise le premier piéton en M et double le deuxième piéton en \(\mathrm{M}^{\prime}\).
On sait que \(A B=15 \mathrm{~km}\) et \(M M^{\prime}=8 \mathrm{~km}\) (attention, \(B M\) n'est pas égale à \(B M^{\prime} \ldots\) ).
Calculer alors le rapport \(S=\frac{v_{S}}{v_{P}}\) de la vitesse \(v_{S}\) du scooter sur celle \(v_{P}\) des deux piétons.
Partie B - Poteaux et Câbles
Deux poteaux, situés le long d'une route horizontale, sont plantés verticalement : l'un mesure 8 mètres, l'autre mesure 2 mètres.
Ils sont reliés par deux câbles tendus, chaque câble reliant la base de l'un au sommet de l'autre. À quelle hauteur se coupent les deux câbles?
Partie A - Piétons et scooter
Le temps \(t\) mis par le scooter pour croiser le \(1^{\text {er }}\) piéton est \(t=\frac{A M}{v_{S}}=\frac{B M}{v_{P}}\).Puisque \(\mathrm{M} \in[A B], A B-B M=A M=\frac{v_{S}}{v_{P}} B M\) d'où \(\left(\frac{v_{S}}{v_{P}}+1\right) B M=A B\) et donc si on note \(x\) le rapport \(\frac{v_{S}}{v_{P}}\), on a \(B M=\frac{15}{x+1}\).
Le temps mis par le scooter pour croiser le second piéton est \(t^{\prime}=\frac{A M^{\prime}}{v_{S}}=\frac{B M^{\prime}}{v_{P}}\).
Puisque \(\mathrm{B} \in\left[\mathrm{AM}^{\prime}\right], A B+B M^{\prime}=A M^{\prime}=\frac{v_{S}}{v_{P}} B M^{\prime}\) d'où \(A B=\left(\frac{v_{S}}{v_{P}}-1\right) B M^{\prime}\) et donc, comme \(\frac{v_{S}}{v_{P}} \neq 1\)