Exercice 2 — Travail et loisirs

Sujet

Une fondation organise une rencontre entre ses membres les plus influents pour information et loisirs. Au menu des activités du jour on trouve en particulier : un repas gastronomique, suivi d'un moment de détente comportant un spectacle de grande qualité que chaque invité pourra voir, installé dans une loge individuelle, dans la mesure du possible.

LE REPAS. (Pour cette question, on suppose qu'il y a 10 invités).
L'organisateur souhaite servir tous les invités autour d'une même table, autour de laquelle les invités se placent librement.
a) Table en U

De combien de manières différentes les dix invités peuvent-ils se placer autour d'une table en forme de U?
b) Table ronde

De combien de manières différentes ces dix invités peuvent-ils se placer autour d'une table ronde?

LE SPECTACLE.

Première partie : Il n'y a plus de place!
L'organisateur dispose de 7 loges individuelles, pour 10 invités : trois d'entre eux ne pourront pas assister au spectacle!
Expliquer pourquoi le nombre \(N\) de groupes différents composés de 7 personnes, qu'on peut former à partir de 10 personnes présentes est donné par la formule : \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}\)

Deuxième partie : On y va quand même!

Finalement, les invités vont se serrer un peu dans les loges et rentrer à plusieurs dans les loges initialement supposées individuelles...L'organisateur dispose d'un certain nombre de loges, numérotées, pour y placer un certain nombre d'invités. Pour toutes les questions l'organisateur utilise toutes les loges disponibles, mais le nombre de spectateurs par loge n'est pas limité.

Situations diverses :
a) L'organisateur dispose de deux loges numérotées.

De combien de manières peut-il y placer 3 invités?
Même question pour deux loges et 4 invités.
b) L'organisateur dispose de 3 loges numérotées.

De combien de manières peut-il y placer 4 invités?
Même question pour trois loges et 5 invités.
c) L'organisateur dispose de 7 loges numérotées.

De combien de manières peut-il y placer 10 invités?