Exercice 1 — Quelque part si loin dans l'espace

Sujet

La guilde du commerce interstellaire veut installer plusieurs stations relais dans son triangle d'argent délimité par trois systèmes solaires, Trantor, Gaïa et Aurora qui forment un triangle équilatéral nommé \(\mathrm{T}_{0} \mathrm{G} \mathrm{A}_{0}\).
Pour réaliser l'investissement de ce projet, la guilde du commerce interstellaire s'est fixée la règle suivante :

• Toutes les stations relais seront situés sur les côtés du triangle reliant d'une part Gaïa G à Trantor \(\mathrm{T}_{0}\), d'autre part Gaïa G à Aurora \(\mathrm{A}_{0}\).
• Tout déplacement partant de Trantor doit être effectué en suivant la ligne brisée \(\mathrm{T}_{0} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~T}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~T}_{4} \mathrm{A}_{5} \ldots \mathrm{~T}_{2 n}\), ( \(n\) entier naturel) comme le montre la figure ci-dessous dessinée à l'échelle 1 cm pour 1,5 année-lumière.
• \(\mathrm{T}_{k+1}\) est le milieu du côté \(\left[\mathrm{T}_{k} \mathrm{G}\right]\) et \(\mathrm{A}_{k+1}\) le milieu du côté \(\left[\mathrm{A}_{k} \mathrm{G}\right]\).
  

Les résultats devront être donnés en valeur exacte réelle.

1. A partir des mesures des longueurs du triangle et de l'échelle appliquée, retrouver la distance \(T_{0} A_{0}\)
2. On note \(L_{2 n}\) la longueur de la ligne brisée \(\mathrm{T}_{0} \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~T}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~T}_{4} \mathrm{~A}_{5} \ldots \mathrm{~T}_{2 n}\), pour tout \(n\) entier naturel, exprimée en années-lumière.
   On veut déterminer cette longueur \(L_{2 n}\)

• Calculer les distances \(L_{2}, L_{4}, L_{6}\) et \(L_{8}\).