Olympiades · Académie Lyon · 2014 · Toutes séries
Un nombre entier, supérieur ou égal à 2 est premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
On appelle E l'ensemble des nombres premiers permutables à un, deux ou trois chiffres.
2. Montrer que 13 est un nombre premier permutable.
3. Montrer que 137 n'est pas un nombre premier permutable.
4. Soit \(N>2\) un nombre premier permutable. Démontrer que tous ses chiffres sont impairs.
5. Quel est le plus grand élément de E ? Justifier la réponse.
On appelle \(\mathbf{F}\) l'ensemble des nombres premiers permutables dont les chiffres distincts deux à deux sont écrits de gauche à droite dans l'ordre strictement croissant.
6. Quel est le plus grand élément de \(\mathbf{F}\) ? Justifier la réponse.
Pour déterminer si un entier n est premier on peut appliquer l'un des critères suivants :
Critère 1 : Un entier \(n>2\) est premier si et seulement s'il n'est divisible par aucun entier compris entre 2 et \(\frac{n}{2}\).
Critère 2 : Un entier \(n>2\) est premier si et seulement s'il n'est divisible par aucun entier compris entre 2 et \(\sqrt{n}\). Critère 3 : Un entier \(n>2\) est premier si et seulement s'il n'est divisible par aucun entier premier compris entre 2 et \(\sqrt{n}\).
Prompt N
Programmation du critère 2 pour une calculatrice TI 82
| \(1 \rightarrow\) T | End | |
| \(2 \rightarrow\) I | I+1 → I | |
| \(\operatorname{int}(\sqrt{ } \mathrm{N}) \rightarrow \mathrm{B}\) | End | |
| while \(\mathrm{I} \leq \mathrm{B}\) and | If \(\mathrm{T}=1\) | |
| \(\mathrm{T}=1\) | ⟶ | Then |
| N/I → Q | Disp "PREMIER" | |
| If Q=int(Q) | Else | |
| Then | DISP "PAS PREMIER" | |
| \(0 \rightarrow\) T | End |
La liste des entiers premiers dans l'ordre commence par : \(2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; \ldots\)