Exercice 2 — Partage d'une cible

Sujet

Partie A
Un concours d'archer est organisé. La cible est dessinée à l'intérieur d'un cercle de rayon 4 dm . Dans cet exercice, on étudiera un modèle réduit de la cible, de rayon 4 cm .

A - Construction de la cible

Le plan est muni d'un repère orthonormé de centre \(O\) et d'unité 1 cm . Suivre les instructions suivantes pour construire la cible.

• Tracer un cercle \(C\) de centre \(O\) et de rayon 4 .

La cible est constituée du disque obtenu.

• Tracer un triangle rectangle tel que :
• l'angle droit est en \(O\),
• les deux autres sommets sont des points d'intersection du cercle \(C\) et des axes du repère.
• Effectuer la symétrie axiale de ce triangle par rapport aux deux axes du repère, puis la symétrie centrale de ce même triangle par rapport à l'origine.
  Les opérations précédentes ont partagé la cible en huit zones de deux types différents (les zones triangulaires seront dites de type U, les autres seront dites de type V).
  
  

B - Calcul des probabilités

On suppose qu'à chaque tir, la cible est atteinte, et que la probabilité que la flèche touche une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone.

Les résultats seront donnés en valeur exacte, puis approchée au millième.

1. Déterminer l'aire en \(\mathrm{cm}^{2}\) de la cible.
2. Déterminer l'aire en \(\mathrm{cm}^{2}\) d'une zone de type U , puis celle d'une zone de type V .
3. On colorie la cible en utilisant trois couleurs :

• en rouge : deux zones de type U.
• en bleu : une zone de type U et une zone de type V.
• en vert : le reste.

Un archer réalise un essai. Pour chaque couleur, déterminer la probabilité qu'elle soit atteinte.