Sujet
Partie A
Soit \(n\) un entier naturel. On se place dans l'ensemble \(U_{n}\) des entiers compris entre 1 et \(2 n\) :\[ U_{n}=\{1,2,3, \ldots 2 n\} \]
Une partie de \(U_{n}\) est un ensemble convenable si aucun de ses éléments n'est divisible par un autre de ses éléments.
Exemple Avec \(n=4: U_{n}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\).
L'ensemble \(\{2 ; 5 ; 6\}\) n'est pas convenable car 6 est divisible par 2.
L'ensemble \(\{3 ; 4 ; 5 ; 7\}\) est convenable : aucun élément n'est divisible par un autre.
On appellera taille d'un ensemble son nombre d'éléments.
Le but de l'exercice est de chercher des ensembles convenables de plus grande taille possible.
Partie 1 - Premiers essais
- On prend \(n=4\). Les ensembles convenables sont des parties de \(U_{4}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\}\).
(a) Justifier qu'un ensemble convenable contient un seul des nombres \(1,2,4\) et 8.
(b) Montrer qu'il n'existe qu'un ensemble convenable de taille 4 contenant 2 .
(c) Trouver les deux ensembles convenables de taille 4 contenant deux nombres pairs.
(d) Montrer qu'il n'existe pas d'ensemble convenable de taille 5.
2 . On prend \(n=6\).
Les ensembles convenables sont des parties de \(U_{6}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12\}\).
(a) Justifier qu'un ensemble convenable contient un seul des nombres 3,6 et 12 .
(b) Montrer qu'il n'existe pas d'ensemble convenable de taille 7.
(c) Existe-t-il un ensemble convenable de taille 6 contenant 2?
(d) Existe-t-il un ensemble convenable de taille 6 contenant 3 ?
(e) Donner un ensemble convenable de taille 6 contenant 4 .
Partie 2 - Généralisation
Dans cette partie, \(n\) est un entier naturel non nul quelconque.Les ensembles convenables sont des parties de \(U_{n}=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2 n\}\).
- On étudie l'algorithme suivant
Variables : \(a, b\) et \(c\) : entiers naturels non
nuls
Demander un entier naturel non nul \(a\)
\(b\) prend la valeur 1
\(c\) prend la valeur \(a\)
tant que \(c\) est pair faire
\(b\) prend la valeur \(b 2\)
\(c\) prend la valeur \(c \div 2\)
fin
Afficher \(b\) et \(c\)
(a) Quelles sont les valeurs de \(b\) et \(c\) affichées lorsque \(a=24\) ? Lorsque \(a=27\) ? Lorsque \(a=32\) ?
(b) Justifier que pour tout entier naturel non nul \(a\), les nombres \(b\) et \(c\) affichés à la fin de l'algorithme vérifient \(b c=a\) et \(c\) est impair. Que peut-on dire du nombre \(b\) ?
On admet que tout entier \(a(a \geqslant 1)\) peut s'écrire de façon unique sous la forme \(a=2^{n} c\), avec \(n\) entier et \(c\) entier impair.
Dans la suite, le nombre \(c\) sera appelé le facteur impair de \(a\).
(c) Quel est le facteur impair de 24 ?
(d) Justifier que tous les nombres d'un ensemble convenable ont des facteurs impairs distincts.
En déduire qu'il n'existe pas d'ensemble convenable de taille \(n+1\).
2. Montrer qu'il existe toujours un ensemble convenable de taille \(n\).
Partie 1 - Premiers essais
- On prend \(n=4\) :
(a) Dans la liste d'entiers \(1,2,4\) et 8 , chaque entier est divisible par tous ceux qui précèdent.
Donc si on prend deux entiers dans la liste, le second est divisible par le premier.
(b) Si un ensemble convenable de taille 4 contient 2 , il ne contient ni 1 , ni 4 , ni 6 , ni 8 .
Il reste \(\{2 ; 3 ; 5 ; 7\}\) qui est bien un ensemble convenable.
(c) Si un ensemble convenable de taille 4 contient deux nombres pairs, alors d'après la question 1.(a), ces deux entiers pairs sont l'entier 6 et l'un des entiers 4 ou 8 .
Cela élimine le 1 , le 2 et le 3 donc il reste \(\{4 ; 5 ; 6 ; 7\}\) et \(\{5 ; 6 ; 7 ; 8\}\).
(d) Un ensemble convenable contient un seul des deux entiers 3 et 6 .
Avec la question 1.(a), cela élimine au total 4 entiers donc il n'existe pas d'ensemble convenable de taille 5.
2. On prend \(n=6\).
(a) Voir question 1.(a) : dans la liste \(3,6,12\), chaque entier est divisible par tous ceux qui précèdent.
(b) On doit éliminer
- 3 entiers parmi \(1,2,4\) et 8 ,
- 2 entiers parmi 3,6 et 12 ,
- 1 entier de la liste 5 et 10 .
Il est donc impossible d'avoir un ensemble convenable de taille 7 .
(c) Si un ensemble convenable de taille 6 contient 2 , alors cela élimine le 1 et les 5 autres nombres pairs.
Il reste seulement 5 nombres impairs, dont 3 et 9 , ce qui ne convient pas.
(d) Si un ensemble convenable de taille 6 contient 3 , cela élimine le 9 (en plus des 6 éliminations de la question 2.(b)).
(e) D'après la question 2.(b), un ensemble convenable de taille 6 contient nécessairement tous les nombres non listés : 7,9 et 11 . Si il contient 4 , alors il contient 6 (ni 12, ni bien sûr 3).
Il reste \(\{4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11\}\) et \(\{4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11\}\).
C - Nouvelle cible
Redessiner la cible avec ses divisions comme dans la partie A.On ajoute des divisions à la cible de la façon suivante :
- Tracer les droites d'équation \(D_{1}: y=x\) et \(D_{2}: y=-x\).
Chaque zone initiale est maintenant divisée en deux parties de même aire.
- Tracer l'octogone régulier ayant pour sommet les huit points d'intersection du cercle avec les axes et les droites \(D_{1}\) et \(D_{2}\).
On obtient maintenant 24 zones de trois types :
- Type X : huit zones en forme de grands triangles rectangles isocèles.
- Type Y : huit zones en forme de petits triangles rectangles (non isocèles).
- Type Z : huit zones non triangulaires.
Type X
Type Z
Les résultats seront donnés en valeur exacte, puis approchée au millième.
- Déterminer l'aire en \(\mathrm{cm}^{2}\) d'une zone de type X , d'une zone de type Y , d'une zone de type Z .
(On pourra placer et nommer des points sur la figure) - On suppose toujours qu'à chaque tir la cible est atteinte, et que la probabilité que la flèche touche une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone.
Montrer que la probabilité (arrondie au millième) de toucher une zone donnée est
| Pour une zone donnée de type | X | Y | Z |
| La probabilité est | 0,080 | 0,033 | 0,012 |
- Montrer qu'il est possible de réaliser un coloriage de la cible (différent de celui de la partie B) en utilisant les couleurs rouge, bleu et vert (une seule couleur par zone), de telle sorte que :
- la couleur la plus probable est le rouge, la moins probable est le vert,
- la différence entre la probabilité du rouge et celle du vert est inférieure à 0,005 .