Exercice 3 — Autour des paraboles

Sujet

Partie 1

1. Soit J et K deux points distincts du plan,

• Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{E}_{1}\) des points M du plan équidistants de J et K .
• Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{E}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(J M

Aucune justification n'est demandée.
2. Soit ( \(\Delta_{1}\) ) et ( \(\Delta_{2}\) ) deux droites du plan sécantes en O ,

• Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{F}_{1}\) des points M du plan équidistants des droites \(\left(\Delta_{1}\right)\) et \(\left(\Delta_{2}\right)\).
• Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{F}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(\mathrm{d}\left(\mathrm{M},\left(\Delta_{1}\right)\right)<\mathrm{d}(\mathrm{M}\), \(\left(\Delta_{2}\right)(\mathrm{d}(\mathrm{M}, D)\) désignant la distance du point M à la droite \(D)\).

1. Soit une droite ( \(\Delta\) ) et un point I n'appartenant pas à ( \(\Delta\) ). Construire trois points distincts du plan équidistants de I et ( \(\Delta\) ). Laisser les traits de construction

Partie 2

On considère désormais une droite ( \(\Delta\) ) et un point I n'appartenant pas à ( \(\Delta\) ). On munit le plan d'un repère orthonormé tel que le point I ait pour coordonnées \((0,1)\) et la droite \((\Delta)\) admette \(y=-1\) pour équation dans ce repère.

1. a) Construire le repère sur la figure.
   b) Déterminer l'ordonnée du point M d'abscisse 1 équidistant de I et ( \(\Delta\) ).
   c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le point \(\mathrm{M}(x, y)\) du plan soit équidistant du point I et de la droite ( \(\Delta\) ).
2. Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{G}_{1}\) des points M du plan équidistants de I et ( \(\Delta\) ).
3. Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{G}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(\mathrm{d}(\mathrm{M},(\Delta))

Partie 3

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( \(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}\) ), on considère la parabole ( P ) d'équation \(y=x^{2}\). Dans cette partie \(n\) et \(m\) désignent deux entiers naturels non nuls distincts. On note N le point de la parabole ( P ) d'abscisse \(-n\) et M le point de la parabole ( P ) d'abscisse \(m\).
a) Construire la droite ( \(N M\) ) pour différents couples ( \(n, m\) ).
b) En observant l'axe des ordonnées, quelle conjecture peut-on alors émettre?
c) Pour tout couple \((n, m)\) d'entiers naturels non nuls distincts, écrire une équation dépendant des entiers \(m\) et \(n\) de la droite ( \(M N\) ).
d) Conclure.
e) Déduire de ce qui précède une méthode graphique permettant de déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 .