Exercice 2 — La marelle

Sujet

Dans cet exercice, on pourra se servir de l'égalité :

\[ \text { pour tout entier naturel } n \text { non nul, } 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

Léna joue à la marelle sur un immense dallage, limité par une bande grisée comme le montre le dessin qui suit. Elle décide de numéroter les dalles de la manière suivante :

La première dalle prend le numéro 0 , puis, à chaque saut, Léna inscrit sur la dalle qui suit le numéro inscrit sur la dalle précédente, augmenté d'une unité, comme précisé ci-dessous, les flèches ⟶, ↑, ↓, ⟶ donnant le sens du déplacement.

On s'intéresse aux nombres se trouvant sur les dalles de la diagonale grisée :
On note \(u(0)\) le nombre inscrit sur la première dalle de la diagonale, ainsi \(u(0)=0\).
On note \(u(1)\) le nombre inscrit sur la deuxième dalle de la diagonale, ainsi \(u(1)=2\).
On note \(u(2)\) le nombre inscrit sur la troisième dalle de la diagonale, ainsi \(u(2)=12\).
D'une manière générale, on note donc \(u(n)\) le nombre inscrit sur la \((n+1)^{\text {ème }}\) dalle de la diagonale grisée.

1. Compléter la figure donnée en annexe, de manière à pouvoir lire \(u(4)\) et \(u(5)\), puis donner les valeurs de ces deux entiers.
2. Un candidat aux olympiades vient de trouver que pour tout entier naturel \(n\) impair, \(u(n+1)= u(n)+6 n+4\). Justifier le résultat trouvé.
3. L'expression est-elle vérifiée pour \(n\) entier naturel pair ? Si non, exprimer dans ce cas \(u(n+1)\) en fonction de \(u(n)\) et de \(n\).
4. Compléter le tableau qui suit, en précisant la démarche utilisée :