Exercice 1 — Tout autour des paraboles

Sujet

Partie 1

1. Soit J et K deux points distincts du plan,

• Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{E}_{1}\) des points M du plan équidistants de J et K .
• Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{E}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(J M

Aucune justification n'est demandée.
2. Soit ( \(\Delta_{1}\) ) et ( \(\Delta_{2}\) ) deux droites du plan sécantes en O ,

• Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{F}_{1}\) des points M du plan équidistants des droites \(\left(\Delta_{1}\right)\) et \(\left(\Delta_{2}\right)\).
• Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{F}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(\mathrm{d}\left(\mathrm{M}, \Delta_{1}\right)>\mathrm{d}\left(\mathrm{M}, \Delta_{2}\right)(\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{D})\) désignant la distance du point M à la droite D\()\).

1. Soit une droite ( \(\Delta\) ) et un point I n'appartenant pas à ( \(\Delta\) ). Construire trois points distincts du plan équidistants de I et ( \(\Delta\) ). Laisser les traits de construction.

Partie 2

On considère désormais une droite ( \(\Delta\) ) et un point I n'appartenant pas à ( \(\Delta\) ). On munit le plan d'un repère orthonormé tel que le point I ait pour coordonnées \((0,1)\) et la droite \((\Delta)\) admette \(y=-1\) pour équation dans ce repère.

1. a) Construire le repère sur la figure.
   b) Déterminer l'ordonnée du point M d'abscisse 1 équidistant de I et ( \(\Delta\) ).
   c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le point \(\mathrm{M}(x, y)\) du plan soit équidistant du point I et de la droite ( \(\Delta\) ).
2. Tracer l'ensemble noté \(\mathrm{G}_{1}\) des points M du plan équidistants de I et ( \(\Delta\) ).
3. Hachurer l'ensemble noté \(\mathrm{G}_{2}\) des points M du plan vérifiant l'inégalité : \(\mathrm{d}(\mathrm{M},(\Delta))

Partie 3

On se propose d'étudier une propriété géométrique de la parabole qui explique son utilisation dans certaines antennes dites «paraboliques ». Dans cette partie, on étudie les ondes reçues et réfléchies par une antenne parabolique. On admet ici que la section plane de cette antenne est une parabole, et ces ondes sont assimilées à des rayons qui arrivent parallèlement à l'axe de symétrie de la parabole.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( \(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}\) ), on considère la parabole ( \(P\) ) d'équation \(y=x^{2}\) Soit A un point de \((P)\), distinct de l'origine O du repère.