Sujet
Partant d'un entier entre 0 et 9 , on s'intéresse aux transformations successives qu'il subit en appliquant une fonction, et en ne gardant à chaque fois que le chiffre des unités. Par exemple, si on considère la fonction \(x \mapsto 2 x+1\), et que l'on part de l'entier 6, on obtient successivement :
\[ \begin{array}{lr} 2 \times 6+1=13 & \text { on ne garde que le chiffre des unités : } 3 ; \\ 2 \times 3+1=7 & \text { on garde bien sûr le chiffre tel quel : } 7 ; \\ 2 \times 7+1=15 & \text { on ne garde que le } 5 ; \\ 2 \times 5+1=11 & \text { on ne garde que le } 1 ; \\ 2 \times 1+1=3 & \text { etc. } \\ 2 \times 3+1=7 \ldots & \end{array} \]
On pourrait continuer indéfiniment, mais on constate que le processus a bouclé puisqu'on est retombé sur 3 puis 7 , qu'on avait déjà obtenu auparavant.
On appellera orbite d'un entier compris entre 0 et 9 , sous l'action de la fonction \(f\), la suite des entiers successifs obtenus en appliquant \(f\) et en gardant que le chiffre des unités. Dans l'exemple précédent, l'orbite de 6 est ( \(6,3,7,5,1,3,7,5,1, \ldots\) ). Elle se décompose en deux phases:
- une première séquence transitoire : ( 6,3 ).
- une séquence qui se répète indéfiniment : \((3,7,5,1)\). Une telle séquence sera appelée un cycle. Le nombre d'entiers qu'il contient, ici 4 , sera appelé la longueur du cycle.
- Question préliminaire : Expliquer brièvement pourquoi l'orbite d'un entier finit toujours par boucler sur un cycle, quelle que soit la fonction appliquée.
L'orbite de 6 sous l'action de \(x \mapsto 2 x+1\) sera représentée par le diagramme suivant :
2. Cartographie de \(x \mapsto 2 x+1\)
Dans cette première partie, on poursuit l'étude des orbites pour la fonction \(x \mapsto 2 x+1\).
a) Déterminer l'orbite de 2 . La représenter par un diagramme comme celui représentant l'orbite de 6 .
b) Proposer un diagramme représentant l'orbite de tous les entiers de 0 à 9 , excepté \(2,4,6\) et 9 .
c) Déterminer l'orbite de 4 puis de 9 et proposer un diagramme pour représenter ces deux orbites.
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