Sujet
Dans tout le problème, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1 . On appelle carrure de \(n\), notée \(\mathcal{C}(n)\), le plus grand entier \(p\) tel qu'on puisse faire entrer les carrés de côté \(1,2, \ldots, p\) dans un carré de côté \(n\), sans qu'ils ne se chevauchent.
Par exemple la carrure de 5 est 3 , car les carrés de côté \(1,2,3\) entrent dans le carré de côté 5 sans se chevaucher, et qu'on ne peut pas faire entrer en plus le carré de côté 4 . Voici un dessin représentant les carrés de côté \(1,2,3\) dans un carré de côté 5 :
- Carrure de quelques entiers
a) Déterminer la carrure de tous les entiers compris entre 1 et 10 . (On pourra appuyer son raisonnement sur des dessins similaires à celui donné en exemple pour la carrure de 5)
b) Justifier que la carrure est une fonction croissante de \(n\), c'est-à-dire que si \(n\) et \(m\) sont deux entiers tels que \(n \leqslant m\), alors \(\mathcal{C}(n) \leqslant C(m)\). - Quelques majoration de \(\mathcal{C}(n)\)
a) Montrer que si \(n\) est un nombre pair, on ne peut pas faire entrer un carré de côté \(\frac{n}{2}\) et un carré de côté \(\frac{n}{2}+1\) dans un carré de côté \(n\) sans qu'ils ne se chevauchent. En déduire que
\[ \mathcal{C}(n) \leqslant \frac{n}{2} \tag{1} \]
b) De manière analogue, montrer que si \(n\) est impair,
\[ \mathcal{C}(n) \leqslant \frac{n+1}{2} \tag{2} \]
c) En raisonnant sur l'aire totale des carrés, montrer que
\[ 1^{2}+2^{2}+\cdots+(\mathcal{C}(n))^{2} \leqslant n^{2} \]
En déduire que
\[ (\mathcal{C}(n))^{3} \leqslant 3 n^{2} \tag{3} \]
On pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité suivante, vraie pour tout entier naturel \(p\) :
\[ 1^{2}+2^{2}+\cdots+p^{2} \geqslant \frac{p^{3}}{3} . \]
d) En déduire que pour \(n\) assez grand, on ne peut plus avoir égalité dans les inégalités (1) et (2).
- Carrure de quelques entiers.
(a) - La carrure de 1 vaut 1 , car on ne peut faire entrer qu'un carré de côté 1 dans un carré de côté 1
- La carrure de 2 vaut 1 , car on peut faire entrer un carré de côté 1 , mais pas 1 carré de côté 1 et un carré de côté 2 dans un carré de côté 1 .
- La carrure de 3 vaut 2 :
- La carrure de 4 vaut 2 :
- La carrure de 5 vaut 3 (cf énoncé)
- La carrure de 6 vaut 3 .
- La carrure de 7 vaut 4 .
- La carrure de 8 vaut 4 .
Donc la carrure de \(n\) est forcément strictement inférieure à \(\frac{n+1}{2}+1\), d'où
\[ C(n) \leqslant \frac{n+1}{2} \tag{2} \]
c) Comme les carrés ne se chevauchent pas, si \(\mathcal{C}(n)\) est la carrure de \(n\), la sommes des aires des carré de côté \(1,2, \ldots, \mathcal{C}(n)\) est inférieure ou égale à l'aire du carré de côté \(n\) qui les contient, donc
\[ 1^{2}+2^{2}+\ldots+C(n)^{2} \leqslant n^{2} \]
et d'après la formule donnée dans l'énoncé, on a
\[ \frac{C(n)^{3}}{3} \leqslant 1^{2}+2^{2}+\ldots+C(n)^{2} \leqslant n^{2} . \]
Donc
\[ C(n)^{3} \leqslant 3 n^{2} \tag{3} \]
d) Si on avait tout le temps égalité dans (1), d'après la question précédente, on aurait toujours pour \(n\) pair :
\[ \left(\frac{n}{2}\right)^{3} \leqslant 3 n^{2} \Leftrightarrow n^{3} \leqslant 8 \times 3 n^{2} \Leftrightarrow n^{3} \leqslant 24 n^{2} \Leftrightarrow n^{3}-24 n^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow n^{2}(n-24) \leqslant 0, \]
ce qui est impossible, puisque pour \(n>24\) la quantité \(n^{2}(n-24)\) est évidemment strictement positive. Donc (1) n'est pas vérifiée pour \(n>24\).
Pour \(n\) impair, de la même manière si on suppose qu'il y a égalité dans (2), on obtient
\[ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{3} \leqslant 3 n^{2} \Rightarrow\left(\frac{n}{2}\right)^{3} \leqslant 3 n^{2}, \]
et on aboutit à la même conclusion que pour \(n\) impair : pour \(n>24\) il ne peut y avoir égalité.
3. Cas limites
On cherche les plus petites valeurs de \(n\) pour lesquelles les inégalités (1) et (2) ne sont pas des égalités.a) \(C(11) \leqslant 6\) d'après les question précédentes, et \(C(11)=6\) d'après ce dessin :
\(C(13) \leqslant 7\) d'après les question précédentes, et \(C(13)=7\) d'après ce dessin :
ques de Ttnselgnement Public