Exercice 2 — Produit maximal

Sujet

Soit \(S\) un nombre réel strictement positif.
Une partition de \(S\) est une liste (sans ordre) de nombres strictement positifs dont la somme vaut \(S\). Les partitions seront notées entre deux crochets : par exemple,
\(E=\langle 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3\rangle, F=\langle 4 ; 4\rangle, G=\langle 8\rangle, H=\langle 2 ; 2,5 ; 3,5\rangle\) sont des partitions de 8 car \(1+1+1+2+3 =8 ; 4+4=8\) et \(2+2,5+3,5=8\).
L'ordre des nombres n'a pas d'importance : la partition \(\langle 1 ; 3 ; 2 ; 1 ; 1\rangle\) est la même que la partition \(E\).
Pour une partition \(E\), on note \(p(E)\) le produit des nombres de la liste. On l'appelle le produit de la partition \(E\).
Avec les exemples précédents, on a :

\[ p(E)=1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3=6 ; p(F)=4 \times 4=16 ; p(G)=8 ; p(H)=2 \times 2,5 \times 3,5=17,5 . \]

Le but de l'exercice est de déterminer des partitions pour lesquelles le produit est maximal.

Partie 1 - Partitions entières

Soit \(S\) un nombre entier naturel. On dit qu'une partition de \(S\) est entière si elle ne contient que des nombres entiers. (Dans l'introduction, les partitions \(E, F\) et \(G\) sont entières, la partition \(H\) ne l'est pas). Soit \(E\) une partition entière de \(S\). On dit que \(E\) est maximale si pour toute autre partition entière \(F\) de \(S\), on a \(p(F) \leqslant p(E)\)

1. Dans cette question, \(S=5\). Donner les sept partitions entières de 5 .

Pour chacune d'elle, calculer son produit.
Quelle est l'unique partition entière maximale de 5 ?
2. Dans la suite, \(S\) est un entier supérieur ou égal à 2 et \(E\) une partition entière de \(S\).
a) Dans chacun des cas suivants, justifier que \(E\) n'est pas une partition entière maximale.

• \(E\) est une partition contenant au moins une fois le nombre \(6: E=\langle 6 ; \ldots\rangle\).
• \(E\) est une partition contenant au moins deux fois le nombre \(4: E=\langle 4 ; 4 ; \ldots\rangle\).
• \(E\) est une partition contenant au moins trois fois le nombre 2 : \(E=\langle 2 ; 2 ; 2 ; \ldots\rangle\).
• \(E\) une partition contenant au moins une fois le nombre 4 et le nombre \(2: E=\langle 4 ; 2 ; \ldots\rangle\).
• \(E\) une partition contenant au moins une fois le nombre \(1: E=\langle 1 ; \ldots\rangle\).
  b) Montrer que si \(E\) est une partition contenant un entier \(a\) supérieur ou égal à 5 alors \(E\) n'est pas une partition entière maximale.

1. En utilisant la question précédente,

• donner l'unique partition entière maximale de 20 et son produit,
• donner les deux partitions entières maximales de 40 et leur produit.