Exercice 2 — Le tétraèdre — Olympiades 2014 Guadeloupe et Martinique

Sujet

On considère un tétraèdre ABCD .
Pour chaque sommet, on définit un nombre appelé son Tir qui est égal à la somme des longueurs des arêtes concourantes en ce sommet. Par exemple : \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=A B+A C+A D\).

Montrer que si les quatre faces du tétraèdre ont le même périmètre, alors

\[ \operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{B})=\operatorname{Tir}(\mathrm{C})=\operatorname{Tir}(\mathrm{D}) . \]

a) Justifier que si \(A B=C D, A C=B D, A D=B C\), alors \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{B})=\operatorname{Tir}(\mathrm{C})=\operatorname{Tir}(\mathrm{D})\).
b) Étudier la réciproque de la propriété précédente.

La propriété «La face opposé à A a le même périmètre que la face opposée à B »se traduit par : \(B C+B D+C D=A C+C D+A D\), soit : \(A C+A D=B C+B D\).
On en déduit que :
\(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=A B+A C+A D=A B+B C+B D=\operatorname{Tir}(\mathrm{B})\). En remplaçant B par C , puis D , on obtient \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{C})\) et \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{D})\).
a) \(A C=B D\) et \(A D=B C\), donc : \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=A B+A C+A D=A B+B D+B C=\operatorname{Tir}(\mathrm{B})\).

En échangeant les rôles de B et C , puis ceux de B et D , on obtient \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{C})\) et \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A}) =\operatorname{Tir}(\mathrm{D})\).
b) \(\operatorname{Tir}(\mathrm{A})=\operatorname{Tir}(\mathrm{B})=\operatorname{Tir}(\mathrm{C})=\operatorname{Tir}(\mathrm{D})\) se traduit \(\operatorname{par}\left\{\begin{array}{l}B C+B D=A C+A D \\ B C+C D=A B+A D \\ B D+C D=A B+A C\end{array}\right.\)

On en déduit, en additionnant membre à membre les 3 égalités, que

\[ B C+B D+C D=A B+A C+A D . \]

En retranchant cette dernière égalité à chacune des égalités du système, on a :
\(C D=A D, B D=A C\) et \(B C=A D\). La réciproque est vraie.