Exercice 1 — L'examen — Olympiades 2014 Guadeloupe et Martinique

Sujet

Louis va à un examen où il sera interrogé sur un sujet. Il y a 20 sujets au programme de l'examen. Louis tire au sort un sujet. S'il ne le connaît pas, il peut en choisir un autre par tirage au sort, parmi les sujets restants.

Louis n'a appris qu'un sujet.
a) Quelle est la probabilité que Louis connaisse le premier sujet qu'il choisit?
b) Quelle est la probabilité que Louis soit interrogé sur le sujet qu'il connaît ?
Combien de sujets Louis doit-il apprendre au minimum pour qu'il ait au moins 9 chances sur 10 de tomber sur un sujet qu'il connait?

a) Cette probabilité est : \(\frac{1}{20}=0,05\).
b) En utilisant un arbre de choix, la probabilité est : \(\frac{1}{20}+\frac{19}{20} \times \frac{1}{19}=0,1\).
Soit \(n\) le nombre de sujets appris par Louis; \(n\) entier et \(1 \leqslant n \leqslant 20\) (*)

Par un raisonnement analogue au précédent, la probabilité que Louis ait un sujet qu'il a appris est :

\[ p_{n}=\frac{n}{20}+\frac{20-n}{20} \times \frac{n}{19}=\frac{-n^{2}+39 n}{380} \]

Première méthode : utilisation d'un tableur ou d'une calculatrice.
On obtient pour \(n=13\), à \(10^{-2}\) près, \(p_{13}=0,88\) et pour \(n=14, p_{14}=0,92\). La valeur minimale de \(n\) avec la condition \(p_{n} \geqslant 0,9\) est \(n=14\).

Deuxième méthode : résolution d'une inéquation du second degré.
La condition \(p_{n} \geqslant 0,9\) se traduit par l'inéquation : \(n^{2}-39 n+342 \leqslant 0\), d'où :

\[ \frac{39-\sqrt{153}}{2} \leqslant n \leqslant \frac{39+\sqrt{153}}{2} . \]

On obtient \(n \geqslant 14\), en tenant compte de (*).