Exercice 1 — Nombres Olympiques et semi-olympiques

Sujet

Un nombre naturel non-nul \(N\) est olympique si l'écriture décimale \(c_{n} c_{n-1} \ldots c_{1} c_{0}\) (avec \(c_{n} \in\{1, \ldots, 9\}\) et \(c_{i} \in\{0, \ldots, 9\}\) pour \(\left.i=0, \ldots, n-1\right)\) de \(N=c_{n} 10^{n}+c_{n-1} 10^{n-1}+\cdots+c_{1} 10+c_{0}\) vérifie les deux conditions suivantes :

• Si deux chiffres consécutifs \(c_{i}, c_{i-1}\) de (l'écriture décimale de) \(N\) sont tous les deux pairs, alors ils sont égaux.
  (On ne tiendra pas compte de zéros inutiles : \(0000043=43\) ne viole pas la condition!)
• Si deux chiffres consécutifs \(c_{i}, c_{i-1}\) de \(N\) sont tous les deux impairs, alors ils sont différents.

Exemples : \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) sont olympiques car ils n'ont qu'un chiffre et n'ont donc aucune condition à satisfaire, \(12345,3157,2251300\) le sont également, \(3112,21664,551429\) ne le sont pas.
Un nombre naturel \(N\) non-nul est semi-olympique s'il satisfait au moins une des deux conditions cidessus.
Remarque : Tout nombre olympique est semi-olympique.
Exemples : 1324505, 449667729 sont semi-olympiques mais pas olympiques, 4677 n'est pas semi-olympique.

1. Déterminer le plus petit entier naturel impair qui n'est pas olympique.
2. Déterminer le plus petit entier naturel pair strictement positif qui n'est pas olympique.
3. Déterminer le plus petit entier strictement positif qui n'est pas semi-olympique.
4. Combien y-a-t-il de nombres olympiques à deux chiffres (c'est-à-dire dans l'intervalle [10, 99]) ?

Notons \(P_{n}\) le nombre de nombres olympiques pairs à \(n\) chiffres (on convient qu'un nombre à \(n\) chiffres appartient à l'intervalle \(\left[10^{n-1}, \ldots, 10^{n}-1\right]\) ) et notons \(I_{n}\) le nombre de nombres olympiques impairs.
5. Déterminer \(P_{2}\) et \(I_{2}\).
6. Déterminer \(P_{3}\) et \(I_{3}\).
7. Combien y-a-t-il de nombres olympiques à 4 chiffres?
8. Combien y -a-t-il de nombres semi-olympiques à 4 chiffres.

Remarque On pourrait omettre la définition de semi-olympique et les questions 3 et 8 (et remplacer « à 4 chiffres » par «à trois chiffres » dans la question 7) pour raccourcir l'exo.