Exercice 3 — La fin des carrés — Olympiades 2014 Dijon

Sujet

On se propose d'étudier les chiffres qui peuvent apparaître à la fin de l'écriture décimale du carré d'un nombre entier et en particulier leur éventuelle répétition.
Par exemple, le nombre \(38^{2}=1444\) se termine par trois chiffres 4.
Rappel : Tout nombre entier naturel peut s'écrire sous la forme \(10 a+b\), où \(b\) est un entier compris entre 0 et 9 et \(a\) un entier naturel. Dans ce cas, \(a\) est le nombre de dizaines et \(b\) le nombre d'unités. Par exemple, l'entier 783 s'écrit \(10 \times 78+3\); on a alors \(a=78\) et \(b=3\).

1. Les « fins » possibles

Si un nombre entier est le carré d'un entier, quelles sont toutes les possibilités pour le chiffre des unités de ce carré?
2. Cas des chiffres 0 à la fin
a) Peut-on trouver un entier non nul dont le carré se termine par un seul chiffre 0 ?
b) Trouver un entier dont le carré se termine par exactement deux 0 ; exactement quatre 0 ; exactement six 0 .
c) Est-il possible de trouver un entier dont le carré se termine par exactement trois 0 ? Justifier. Que peut-on alors conjecturer pour le nombre possible de 0 terminant l'écriture du carré d'un entier?
d) Démontrer la conjecture formulée en 2.c).

3. Cas des chiffres 9 à la fin

a) Le carré d'un entier peut-il se terminer par 99 ?
(On pourra utiliser le fait que tout entier peut s'écrire sous la forme \(100 a+b\), où \(b\) est un entier compris entre 0 et 99 .)
b) Que peut-on en conclure pour le nombre possible de 9 terminant l'écriture du carré d'un entier ?

En procédant exactement comme dans la question 3., on peut aussi démontrer qu'il ne peut y avoir de répétition des chiffres 1, 5, et 6 «à la fin des carrés ». Nous admettrons ce résultat.
4. Étudier la répétition possible du chiffre 4 terminant l'écriture du carré d'un entier.

En écrivant \(n=10 a+b\), on constate que le dernier chiffre de \(n^{2}\) est le même que celui de \(b^{2}\). On obtient donc \(0,1,4,5,6\) ou 9 comme dernier chiffre possible.
a) C'est impossible d'après 1.

En effet, la seule façon d'obtenir le chiffre 0 à la fin du carré d'un nombre est de mettre au carré un \(n\) nombre se terminant par 0 , c'est-à-dire \(n=10 \times a\).
Dans ce cas, d'où \(n^{2}=100 \times a^{2}\) se termine par deux 0 .
b) Les nombres 10, 100 et 1000 conviennent. . .