Exercice 1

Sujet

On appelle palindrome un entier supérieur à 10 , dont l'écriture décimale usuelle est la même de gauche à droite et de droite à gauche. Ainsi, \(55,202,444,12521\), sont des palindromes. Le but de cet exercice est d'envisager quelques propriétés des palindromes.

1. Dénombrement des palindromes ayant un nombre de chiffres donnés
   a) Combien y a-t-il de palindromes ayant deux chiffres? ayant trois chiffres? Dans la suite, si \(k\) est un entier supérieur ou égal à 2 , on note \(P_{k}\) le nombre de palindromes ayant \(k\) chiffres.
   b) Montrer que, si \(k\) est impair, alors \(P_{k+1}=P_{k}\).
   c) Si \(k\) est pair, exprimer \(P_{k+1}\) en fonction de \(P_{k}\).
   d) Calculer \(P_{2014}\) et exprimer le résultat en notation scientifique.

2. Palindromes carrés

a) Déterminer tous les palindromes ayant 3 chiffres et qui sont des carrés parfaits.
b) On considère un entier de quatre chiffres.

Montrer que si cet entier est un palindrome, alors il est divisible par 11. Étudier la réciproque.
c) Existe-t-il un palindrome ayant 4 chiffres qui soit un carré parfait?
d) Existe-t-il un palindrome ayant 5 chiffres qui soit un carré parfait ?
e) Si \(n\) est un nombre impair supérieur ou égal à 3 , montrer qu'il existe un palindrome ayant \(n\) chiffres et qui soit un carré parfait.

3. Entiers renversés et palindromes

Le renversé d'un entier est l'entier obtenu en écrivant les chiffres dans l'ordre inverse. Ainsi, par exemple, le renversé de 1045 est 5401, le renversé de 2030 est 302 .
Dans cette question, on considère un nombre à deux chiffres, et l'on s'intéresse à la somme de ce nombre et de son renversé.
a) Donner un exemple où une telle somme est un palindrome, et un exemple où elle n'en est pas un.
b) Pour le nombre considéré, on note \(a\) le chiffre des dizaines et \(b\) celui des unités. Donner une condition portant sur \(a\) et \(b\) pour que la somme du nombre et de son renversé soit un palindrome