Sujet
Partie I: Partitions d'un entier, définitions et premiers exemples
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on appelle partition d'un entier (ou encore partage d'un entier) \(n\) toute décomposition de cet entier en une somme d'entiers positifs non nuls, à l'ordre près des termes. Plus rigoureusement, on appelle partition d'un entier \(n\) toute écriture de \(n\) sous la forme
\[
n=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{p-1}+a_{p}
\]
où \(a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant a_{3} \geqslant \cdots \geqslant a_{p-1} \geqslant a_{p}\) sont des entiers naturels non nuls, \(p\) étant un entier naturel quelconque tel que \(1 \leqslant p \leqslant n\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(p(n)\) le nombre de partitions de \(n\).
Exemple : partition de l'entier 5
Nous avons listé ci-dessous toutes les partitions de l'entier naturel 5 :
\(5=5\)
\(5=4+1\)
\(5=3+2\)
\(5=3+1+1\) Ainsi, nous dénombrons 7 partitions de
\(5=2+2+1\) l'entier 5 , on note alors \(p(5)=7\).
\(5=2+1+1+1\)
\(5=1+1+1+1+1\)
- Justifier que \(p(6)=11\).
Pour tous entiers naturels \(n, k\) non nuls tels que \(k \leqslant n\), on appelle partition de l'entier \(\boldsymbol{n}\) en \(\boldsymbol{k}\) parties toute écriture de \(n\) sous la forme
\[
n=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{k-1}+a_{k}
\]
où \(a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant a_{3} \geqslant \cdots \geqslant a_{k-1} \geqslant a_{k}\) sont des entiers naturels non nuls. On note alors \(p(n, k)\) le nombre de partitions de l'entier \(n\) en \(k\) parties. Lorsque \(k>n\), on posera \(p(n, k)=0\).
Poursuite de l'exemple : partitions de l'entier 5
On dénombre 2 partitions de 5 en 3 parties ( \(5=3+1+1\) et \(5=2+2+1\) ) : on note \(p(5,3)=2\). On dénombre 1 seule partition de 5 en 4 parties \((5=2+1+1+1)\) : on note \(p(5,4)=1\).
2. Justifier que, pour tout entier \(n\) naturel non nul, on a \(p(n, n)=1\). Que vaut \(p(n, 1)\) ?
3. Recopier et compléter le tableau suivant donnant les valeurs de \(p(n, k)\) pour \(n\) variant de 1 à 6 (Pour plus de lisibilité, les 0 n'ont pas été indiqués dans ce tableau) :
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