Exercice 1 — Triangles de périmètre et aire égaux

Sujet

Soit \(a, b\) et \(c\) trois nombres réels strictement positifs. On rappelle que l'aire \(\mathcal{A}\) d'un triangle de côtés de longueurs \(a, b, c\) peut être calculée à l'aide de la formule de Héron d'Alexandrie

\[ \mathcal{A}=\sqrt{\frac{\mathcal{P}}{2}\left(\frac{\mathcal{P}}{2}-a\right)\left(\frac{\mathcal{P}}{2}-b\right)\left(\frac{\mathcal{P}}{2}-c\right)} \]

Où \(\mathcal{P}\) est le périmètre de ce triangle. On se propose de déterminer l'ensemble \(\mathcal{T}\) des triangles dont les longueurs des côtés sont entières et dont l'aire est égale au périmètre.

1. On considère un triangle de côtés de longueurs 3 , 4 et 5 .
   a) Déterminer son périmètre et son aire.
   b) Déterminer un entier \(k\) tel qu'en multipliant les longueurs des côtés de ce triangle par celui-ci, son aire soit égale à son périmètre.
2. On considère un triangle appartenant à \(\mathcal{T}\) et on note \(a, b, c\) les longueurs de ses côtés, en supposant que \(a \geqslant b \geqslant c\).
   a) Montrer qu'il existe trois entiers \(k, m, n\) tels que \(m \leqslant n \leqslant k\) et

\[ \left\{\begin{array}{l} a=n+k \\ b=m+k \\ c=m+n \end{array}\right. \]

b) En déduire que, dans ce cas, \(m n k=4(m+n+k)\).
c) Montrer que si \(m=1\), alors \((n-4)(k-4)=20\).

En déduire que \(\mathcal{T}\) contient exactement trois triangles pour lesquels on a \(m=1\).
d) Montrer qu'il existe deux triangles de \(\mathcal{T}\) satisfaisant à la condition \(m=2\).
e) Montrer que, si \(m=3\), alors \((3 m-4)(3 k-4)=52\). En déduire qu'il n'existe aucun triangle de \(\mathcal{T}\) satisfaisant à la condition \(m=3\).
f) Montrer que, si \(m \geqslant 4\), alors \(k \leqslant \frac{5}{n-1}+1\) pour tout entier \(n \geqslant 4\).

Existe-t-il des triangles appartenant à \(\mathcal{T}\) satisfaisant à la condition \(m \geqslant 4\) ?
3. Déterminer l'ensemble des triangles de \(\mathcal{T}\).