Exercice 2 — Ensembles P-stables — Olympiades 2014 Corse

Sujet

Un ensemble \(\mathbb{E}\) de nombres réels est dit «stable par produit » ou plus simplement « P-stable » s'il est non vide et s'il possède la propriété suivante :
Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{E}\), \(a \times b\) est un élément de \(\mathbb{E}\).
Par exemple considérons l'ensemble \(\mathbb{G}=\{0 ; 1\}: 0 \times 0=0\) qui appartient bien à \(\mathbb{G}\), de même \(0 \times 1=0,1 \times 1=1\) sont aussi dans \(\mathbb{G}\). \(\mathbb{G}\) est donc P -stable.
\(\mathbb{H}=\{0 ; 1 ; 2\}\) n'est pas P -stable car \(2 \times 2=4\) qui n'est pas dans \(\mathbb{H}\).

Quelques exemples d'ensembles P -stables.
a) Démontrer que les ensembles \(\mathbb{E}=\{1\}\) et \(\mathbb{F}=\{-1 ; 1\}\) sont P -stables.
b) Donner un exemple d'ensemble P -stable ayant exactement trois éléments.
c) Démontrer que l'ensemble \(\mathbb{K}=\left\{a^{3}, a \in \mathbb{N}\right\}\) des nombres qui sont des cubes d'entier naturel est un ensemble P -stable.
d) On note \(\mathbb{D}\) l'ensemble de toutes les puissances de 10 d'exposant entier naturel. Démontrer que \(\mathbb{D}\) est un ensemble P -stable.
e) Déterminer le plus petit ensemble P -stable de nombres réels contenant le nombre 7 .
Ensembles P -stables ayant un ou deux éléments;
a) Déterminer tous les ensembles P -stables ayant un seul élément.
b) Déterminer tous les ensembles P -stables ayant exactement deux éléments distincts.
Une surface dont le bord est un triangle rectangle isocèle étant donnée, on cherche à la «découper» en plusieurs surfaces de même aire, ayant aussi pour bord un triangle rectangle isocèle. On s'intéresse au nombre de petits triangles isocèles obtenus.
a) Vérifier qu'il est possible d'obtenir un découpage en 2 triangles rectangles isocèles, puis en 16 triangles rectangles isocèles.
b) Démontrer qu'il est possible d'obtenir un découpage en 9 triangles rectangles isocèles.
c) Démontrer qu'il est possible de découper cette surface suivant 49 triangles rectangles isocèles.
d) Démontrer que l'ensemble des nombres de triangles possibles est un ensemble P -stable.
e) Démontrer qu'il est possible de découper cette surface suivant 165600 triangles rectangles isocèles.

a) \(\mathbb{E}=\{1\}\) est P -stable puisque \(1 \times 1=1\) et \(\mathbb{F}=\{-1 ; 1\}\) est P -stable puisqu'on a les trois égalités : \(1 \times 1=1,(-1) \times 1=-1\) et \((-1) \times(-1)=1\).
b) Un exemple d'ensemble P -stable ayant exactement trois éléments est \(\{-1 ; 0 ; 1\}\).
c) Pour tout entier naturel \(a\) et \(b\), on a \(a^{k} \times b^{k}=(a \times b)^{k}\) et \(a \times b\) est un entier naturel, ce qui montre que \(\mathbb{E}\) est P -stable.