Sujet
Voici un octogone de centre A troué composé de \(8 \times 4=32\) cases. Certaines comportent déjà un chiffre entre 1 et 8 .
- 4 cases comportent des lettres notées \(a, b, c\) et \(d\). Ces lettres représentent des chiffres compris entre 1 et 8 . Déterminer ces chiffres à partir des définitions ci-dessous :
- \(a\) : Après une augmentation de \(2 \%\), le prix TTC de l'essence avion à l'Aéro-club d'Aulnat est de \(1,887 €\) par litre. Quel était le prix du litre d'essence avant cette augmentation? Prendre la \(2^{\text {ème }}\) décimale de la réponse.
- \(b\) : Un cerf-volant passe de \(120 €\) à \(90 €\). Calculer le pourcentage de baisse \(t\). Prendre le cinquième de \(t\).
- \(c\) : Après deux hausses successives de \(50 \%\), le prix d'un jeu est égal à \(45 €\). Quel était le prix initial?
Prendre le quart de la réponse. - \(d:\) «un torchon a rétréci au lavage. Sa longueur a diminué de \(25 \%\) et sa largeur de \(5 \%\). Son aire est maintenant de \(2565 \mathrm{~cm}^{2}\). Quelle était son aire avant le lavage? ». Prendre le tiers de la somme des chiffres de la solution au problème.
- Il s'agit maintenant de compléter toutes les cases de la grille de l'annexe (page suivante) à l'aide de chiffres compris entre 1 et 8 en utilisant la règle suivante :
Chaque chiffre de 1 à 8 doit figurer une et une seule fois sur chacun des quatre anneaux, chaque région colorée et chaque paire de fuseaux symétriques par rapport à A (exemple : dans la région 1 , la partie gauche est symétrique de la partie droite de la région 3).
ANNEXE (à rendre avec la copie)
- On détermine \(a, b, c\) et \(d\).
- Soit \(p\) le prix du litre d'essence avant augmentation en euros. On résout l'équation :
\(1,887=p\left(1+\frac{2}{100}\right)\) donc \(1,887=1,02 p\) donc \(p=\frac{1,887}{1,02}=1,85\).
La seconde décimale est 5. Ainsi \(a=5\). - Soit \(t\) le pourcentage de baisse du cerf-volant. On a : \(\frac{90-120}{120} \times 100=\frac{-30}{120} \times 100=-\frac{1}{4} \times 100=\) -25.
Le pourcentage de baisse \(t\) est égal à 25 et le cinquième de 25 vaut 5 . Ainsi \(b=5\). - Soit \(p\) le prix initial du jeu en euros. On résout l'équation :
\(45=p \times\left(1+\frac{50}{100}\right)^{2}\) donc \(p=\frac{45}{1,5^{2}}=20\). Le quart de 20 est 5. ainsi \(c=5\). - Soit \(\ell\) la largeur initiale et \(L\) la longueur initiale du torchon en cm . Ainsi l'aire initiale est donnée par \(\ell \times L\).
La nouvelle largeur est \(\ell \times\left(1-\frac{5}{100}\right)=0,95 \ell\)
et la nouvelle longueur est \(L \times\left(1-\frac{25}{100}\right)=0,75 L\).
Donc la nouvelle aire est \(0,95 \ell \times 0,75 L\).
On résout l'équation : \(0,95 \ell \times 0,75 L=2565\). D'où \(\ell \times L=\frac{2565}{0,75 \times 0,95}=3600\).
- Dans chacune des situations étudiées précédemment vous pouvez constater que, pour répondre au problème, chaque case est laissée vide au moins une fois.
Montrer que c'est le cas, quelles que soient les valeurs de \(m\) et \(n\). - Dans cette question, \(m\) et \(n\) sont des entiers naturels strictement supérieurs à 1 .
Montrer que si on rencontre la configuration suivante alors on aboutira systématiquement à une impasse. Les éventuelles cases précédentes ou suivantes ont volontairement été omises.
| \(C\) | \(G\) | \(C\) | \(G\) |
- On désigne par «déplacement» un saut ou le fait d'avancer d'une case.
Montrer que le nombre de déplacements nécessaires pour répondre au problème est \(m n+m+n\).
5. a) On s'intéresse à présent au cas suivant : 4 crapauds et 4 grenouilles sont placés dans les cases d'un carré. On veut passer de la configuration initiale :
| \(C\) | \(G\) | \(G\) |
| \(C\) | \(G\) | |
| \(C\) | \(C\) | \(G\) |
à la configuration finale :
| \(G\) | \(C\) | \(C\) |
| \(G\) | \(C\) | |
| \(G\) | \(G\) | \(C\) |
Comme précédemment, les animaux peuvent avancer sur une case immédiatement voisine ou sauter par dessus un animal d'une autre espèce. Les crapauds peuvent se déplacer uniquement vers la droite et vers le haut, et les grenouilles uniquement vers la gauche et vers le bas.
Proposer une solution à ce problème.
b) Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à 1 . On considère un quadrillage carré composé de \(2 p+1\) cases en ligne comme en colonne.
La case centrale est laissée vide. Les autres cases sont occupées pour moitié par des grenouilles et pour moitié par des crapauds de la manière suivante :
- les colonnes de gauche sont occupées par les crapauds;
- les colonnes de droite sont occupées par les grenouilles;
- dans la colonne centrale, les cases du haut sont occupées par des crapauds et les cases du bas par des grenouilles.
L'objectif est que : - les crapauds remplissent les colonnes de droite ainsi que les cases du bas de la colonne centrale ;
- les grenouilles remplissent les colonnes de gauche ainsi que les cases du haut de la colonne centrale.
Ainsi, pour \(p=1\), la configuration initiale et la configuration finale sont celles décrites dans la question précédente.
Les déplacements autorisés sont également ceux décrits dans la question précédente.
Déterminer, en fonction de \(p\), le nombre de déplacements nécessaires pour répondre au problème.