Exercice 1 — À la claire fontaine

Sujet

Deux demi-droites \([A D)\) et \([B C)\) sont perpendiculaires à une droite \((A B)\) comme ci-dessous.
L'unité étant le centimètre, on pose \(A B=6, A D=a(a>0))\) et \(B C=b(b>0)\).
E est le point d'intersection des droites ( \(A C\) ) et ( \(B D\) ).

Première partie

Dans cette question on suppose que \(a=4\) et \(b=9\).

1. Tracer la figure correspondante.
2. a) Donner une mesure de l'angle \(\widehat{A D E}\) à 1 degré près.
   b) Le triangle ADE est-il équilatéral ?
3. Le triangle ADE est-il rectangle ?

Pour justifier la réponse, on pourra éventuellement se placer dans un repère orthonormé bien choisi.

Deuxième partie

Dans cette question \(a\) et \(b\) sont deux réels strictement positifs quelconques.
F est le symétrique de A par rapport à D .
I est le point d'intersection des droites ( \(A C\) ) et ( \(B F\) ).

1. Démontrer que l'aire du triangle AED est égale à \(\frac{3 a^{2}}{a+b}\).
2. En déduire que l'aire du triangle AIF est égale à \(\frac{12 a^{2}}{2 a+b}\).
3. Déterminer l'aire du quadrilatère EIFD en fonction de \(a\) et de \(b\).
   

Troisième partie

On suppose désormais que \(a=4\).
Olympe veut placer dans son jardin un bassin futuriste.
Sur le plan du terrain ci-dessus, à l'échelle \(1 / 100\), le bassin est représenté par le quadrilatère EIFD.
Olympe affirme :
a) «Plus \(b\) sera grand, plus la surface de mon bassin sera grande».
b) «La surface de mon bassin ne dépassera jamais \(12 \mathrm{~m}^{2}\) ».

Que pensez-vous des affirmations d'Olympe?