Olympiades · Académie Caen · 2014 · Séries autres que S
ArithmétiqueÉquations / Fonctions
A l'anniversaire de sa mère, une mère et sa fille s'aperçoivent que leur âge s'écrit avec les 2 mêmes chiffres mais dans l'ordre opposé.
Dans l'exercice, on considère des âges formés exactement de 2 chiffres et d'autre part qu'une femme ne peut avoir un enfant qu'entre 16 et 54 ans \({ }^{2}\)
Sa mère lui répond « Tu dois te tromper car l'âge de ta grand-mère est compris entre 91 et 98 ans ». Pourquoi la fille s'est-elle trompée?
2. En réalité la mère et la fille ont 27 ans d'écart d'âge, quels sont les âges possibles de la mère et de la fille?
3. a) Si la différence des âges entre la mère et la fille est un nombre entier \(n\), quelles sont les valeurs possibles de \(n\) ?
b) Pour chacune de ces valeurs de \(n\), quels sont les âges de la mère et de la fille ?
4. Si on suppose que l'âge de la grand-mère est le quadruple de l'âge de sa petite fille, quel est l'âge de la petite fille?
La somme de leurs ages est donc : \(f+m=10 a+b+a+10 b=11(a+b)\); c'est donc un multiple de 11, ce qui exclut les nombres compris entre 91 et 98 .
2. On a ici \(10 b+a=10 a+b+27\), ou \(b=9 a+27=9(a+3)\) d'où les valeurs possibles de \(a, b, f\) et \(m\)
| \(a\) | \(b\) | \(f\) | \(m\) |
| 0 | 3 | 03 | 30 |
| 1 | 4 | 14 | 41 |
| 2 | 5 | 25 | 52 |
| 3 | 6 | 36 | 63 |
| 4 | 7 | 47 | 74 |
| 5 | 8 | 58 | 85 |
| 6 | 9 | 69 | 96 |
Mais, la mère ayant au moins 16 ans de moins que sa mère a au plus \(98-16=82\) ans, et ayant au plus 54 ans de moins que sa mère a au moins \(91-54=37\) ans. Ceci exclut donc la première et les deux dernières lignes du tableau.
3. a) \(n=10 b+a-(10 a+b)=9(b-a)\); \(n\) doit donc être un multiple de 9 et par ailleurs \(16 \leqslant n \leqslant 54\). Les valeurs possibles de \(n\) sont donc : 18, 27, 36, 45 et 54 .
Le texte initial fixait cette durée limite à 50 ans, mais cette condition est incompatible avec la dernière question.