Sujet
Le but de cet exercice est de déterminer la longueur maximale d'un rectangle ABCD qu'on peut inscrire dans un carré, un cercle, un losange ou un rectangle. La largeur du rectangle ABCD est fixe : \(A B=2 c m\).
- On veut inscrire le rectangle ABCD dans un carré IJKL avec \(\mathrm{IJ}=20 \mathrm{~cm}\). Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD ?
- On veut inscrire le rectangle ABCD dans un cercle de rayon 10 cm . Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD ?
- On veut inscrire le rectangle ABCD dans un losange RSTV dont les diagonales mesurent 28 cm et 16 cm . Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD ?
- On veut inscrire le rectangle ABCD dans un rectangle EFGH de 30 cm de longueur et 24 cm de largeur. Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD ?
- Le triangle AIE est rectangle et isocèle de sommet E.
Alors \(I E=A E=1 \mathrm{~cm}\).
Ainsi
\[ B C=I K-2 I E=\sqrt{I J^{2}+J K^{2}}-2 I E=\sqrt{2 \times 20^{2}}-2=20 \sqrt{2}-2 \mathrm{~cm} . \]
2. Le triangle OAK est rectangle en K, alors
\[ K O=\sqrt{O A^{2}-A K^{2}}=\sqrt{10^{2}-1^{2}}=\sqrt{99}=3 \sqrt{11} . \]
Alors \(D C=2 K O=6 \sqrt{11} \mathrm{~cm}\).
3. Les triangles RAK et RSO forment une configuration de Thalès, donc
\[ \frac{R K}{R O}=\frac{A K}{S O}, \text { soit } \frac{R K}{14}=\frac{1}{8} \text { ou } R K=1,75 \mathrm{~cm} . \]
Ainsi \(B C=R T-2 R K=28-2 \times 1,75=24,5 \mathrm{~cm}\).
