Exercice 1

Sujet

Présentation du problème, quelques généralités sur l'alvéole d'abeille

Les alvéoles, construits en cire par les abeilles ouvrières afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés qui constituent le gâteau de cire. La section droite de chacun des prismes est un hexagone régulier dont chaque côté mesure environ 3 mm .

I - Pourquoi avoir des alvéoles hexagonaux?

Le plan peut être pavé de polygones réguliers avec des triangles équilatéraux ou des carrés ou des hexagones.
On constate que la partie visible du gâteau de cire est constituée d'hexagones.
On souhaite comparer l'intérêt d'utiliser une cellule hexagonale par rapport à une cellule carrée.

1. une cellule carrée ABCD a pour aire 1, déterminer son périmètre.
2. Si une cellule hexagonale ABCDEF a pour aire 1, déterminer son périmètre exact.
3. La quantité de cire utilisée est proportionnelle au périmètre de la cellule. Calculer le pourcentage d'économie si on utilise une cellule hexagonale de même aire à la place d'une cellule carrée. On arrondira le résultat au \% près.

II - Étude du fond de l'alvéole

La profondeur de chaque cellule est de \(11,5 \mathrm{~mm}\) environ. Contrairement à ce qu'on pourrait supposer, le fond de l'alvéole n'est pas plat. Chaque cellule est adossée par le fond à trois autres cellules au moyen d'une surface formée de trois losanges identiques. Cette description est illustrée sur la planche ci-dessous datant de 1726 et une représentation en perspective d'un alvéole.(page suivante)