Exercice 2 — Nombres sphéniques abondants

Sujet

Un nombre premier n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. La liste des nombres premiers est \(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, \ldots\}\)
On dit qu'un nombre entier \(n\) est abondant si la somme de ses diviseurs est supérieure ou égale à \(2 n\). Dans le cas contraire, on dit qu'il est déficient.
Par exemple, la somme des diviseurs de 12 est : \(1+2+3+4+6+12=28\). On \(28>2 \times 12\), donc 12 est abondant.
On dit qu'un nombre entier est sphénique s'il est le produit de trois nombres premiers différents.
Par exemple : \(12=2 \times 2 \times 3\) n'est pas sphénique. \(30=2 \times 3 \times 5\) est le plus petit entier sphénique.

a) 2014 est-il sphénique?
b) Vérifier que 230 et 231 sont des entiers consécutifs sphéniques.
c) Idem pour 1309, 1310 et 1311 .
d) Est-il possible de trouver quatre entiers consécutifs sphéniques?
Soit \(n\) un entier sphénique. \(n=p \times q \times r\) où \(p, q\) et \(r\) sont trois nombres premiers tels que \(2 \leqslant p< q a) Montrer que \(n\) a 8 diviseurs et que leur somme est égale à \((p+1)(q+1)(r+1)\).
b) En déduire que \(n\) est abondant si et seulement si \(\left(1+\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{q}\right)\left(1+\frac{1}{r}\right) \geqslant 2\).
c) En déduire que si \(p \geqslant 3, n\) est déficient.
Étude du cas \(p=2\).
a) Montrer que \(n\) est abondant si et seulement si \(\left(1+\frac{1}{q}\right)\left(1+\frac{1}{r}\right) \geqslant \frac{4}{3}\).
b) Déterminer tous les nombres sphéniques abondants.

a) \(2014=2 \times 19 \times 53\) est bien sphénique. La somme de ses diviseurs est égale à 3240 . Donc il n'est pas abondant.
b) \(230=2 \times 5 \times 23\) et \(231=3 \times 7 \times 11\).
c) \(1309=7 \times 11 \times 17,1310=2 \times 5 \times 131,1311=3 \times 19 \times 23\).
d) Étant donnés quatre entiers consécutifs, l'un est forcément multiple de 4 et ne peut donc être sphénique.
a) Les diviseurs sont \(1, p, q, r, p q, p r, q r\) et pqr et leur somme est \(1+p+q+r+p q+p r+q r+p q r\). On vérifie alors que \((p+1)(q+1)(r+1)=1+p+q+r+p q+p r+q r+p q r\)
b) \(n\) est abondant si \((p+1)(q+1)(r+1) \geqslant 2 p q r\), donc si \(\frac{p+1}{p} \times \frac{q+1}{q} \times \frac{r+1}{r} \geqslant 2\) donc si \(\left(1+\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{q}\right)\left(1+\frac{1}{q}\right) \geqslant 2\).